Действие скалярного поля ϕ(x⃗)ϕ(x→)\phi (\vec x) на состояние вакуума

Сейчас я изучаю квантовую теорию поля, читая записи лекций Дэвида Тонга.

У меня есть вопрос о модовом расширении реального скалярного поля, которое канонически квантуется путем превращения классического поля Клейна-Гордона в квантовое поле.

Модовое разложение поля определяется выражением

ф ( Икс → ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п → ( а п → е я п → ⋅ Икс → + а п → † е − я п → ⋅ Икс → )

где ю п → "=" п 2 + м 2 и а п → † создаст вращение 0 частица в импульсном состоянии | п → ⟩ , а именно а п → † | 0 ⟩ "=" | п → ⟩ .

Вопрос, который меня сейчас интересует, заключается в том, что я получу, если воздействую квантовым полем на состояние вакуума, то есть ф ( Икс → ) | 0 ⟩ "=" ?

Кажется, в конспекте лекций ф ( Икс → ) | 0 ⟩ "=" | Икс → ⟩ , где | Икс → ⟩ это спин 0 частица в состоянии положения в Икс → .

(уравнение 2.52 в http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/two.pdf )

Однако мне это кажется нетривиальным, поэтому я провел следующий вывод.

ф ( Икс → ) | 0 ⟩ "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п → ( а п → е я п → ⋅ Икс → + а п → † е − я п → ⋅ Икс → ) | 0 ⟩
"=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п → ( | п → ⟩ е − я п → ⋅ Икс → )

Однако я понятия не имею, как это доказать

∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п → ( | п → ⟩ е − я п → ⋅ Икс → ) "=" | Икс → ⟩

Я знаю, что в элементарной квантовой механике мы имеем

| Икс → ⟩ "=" ∫ г 3 п | п → ⟩ ⟨ п → | ⋅ | Икс → ⟩
Однако это не похоже на то, что я хочу доказать.

Кажется глупым вопрос, но я просто застрял на нем.

Буду признателен за любое предложение!

Похоже, вы в основном показали это, вам просто нужно признать, что это преобразование Фурье из Икс к п космос
Спасибо, но есть ю п → в интеграле, и я не уверен, как его исключить, чтобы на самом деле получить | Икс → ⟩ .
На вопрос дан правильный ответ ниже, но я бы сказал, что вы можете увидеть уравнение 2.62 и далее для нормализации Тонга.

Ответы (2)

Вы сделали почти все, кроме релятивистских соображений, которые, конечно, не очевидны.

Фактор ю является релятивистской нормировкой для собственных состояний, а также вам нужно обратить внимание на меру, г 3 п . Этот вид нормализации исходит из того факта, что собственные состояния и мера должны быть по отдельности лоренц-инвариантными, даже если весь интеграл инвариантен.

Таким образом, вы можете проверить, что г 3 п 2 ю и ю | п ⟩ действительно будут инвариантами Лоренца. Поскольку нормализация собственного состояния положения 1 ю | Икс ⟩ , остается только ю в знаменателе.

Иногда существует соглашение, согласно которому нормализация выполняется для операторов создания и уничтожения, а не для собственных состояний. Лучше сверьтесь с учебником, какому соглашению он следует, или к вашим собственным обозначениям, чтобы не перепутать определения и не получить какие-то странные результаты в ваших вычислениях.

вы можете доказать это, если воспользуетесь преобразованием Фурье от x к импульсному пространству.

Спасибо, но есть ю п → в интеграле, и я не уверен, как его исключить, чтобы на самом деле получить | Икс → ⟩ .
Действие скалярного поля ϕ(x⃗)ϕ(x→)\phi (\vec x) на состояние вакуума
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v