Добавление квантовых чисел нарушает принцип исключения?

Я не знаю, действительно ли это касается вашего вопроса, но вот:

Для начала рассмотрим одночастичное гильбертово пространство$\mathscr{H}_1$. Если, например, у нас есть$\mathscr{H}_1 = L^2(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{C}^2$, затем

$$\{|n\rangle \otimes |s\rangle\}$$ является основой для$\mathscr{H}_1$если$\{|n\rangle\}_{n\in\mathbb{N}}$является основой для$L^2(\mathbb{R})$и$\{|s\rangle\}_{s=\pm1/2}$основа для$\mathbb{C}^2$. мы напишем$|ns\rangle \equiv |n\rangle \otimes |s\rangle$. Обратите внимание, что вы не можете «пренебрегать» спиновой степенью свободы в первую очередь, так как вы не указали бы одночастичные состояния в$\mathscr{H}_1$полностью.

Теперь рассмотрим некоторый гамильтониан$h$с собственными функциями$|ns\rangle$:

$$h\, |n s\rangle = E_{ns} \, |ns\rangle \quad.$$

Например, он может иметь следующий вид:

$$h = \frac{p^2}{2m} + v(x) \otimes \mathbb{I} \quad , \tag{1}$$

где$\mathbb{I}$обозначает тождественный оператор.

---

Гильбертово пространство двух неразличимых фермионов представляет собой антисимметризованное произведение одночастичного гильбертова пространства:

$$\mathscr{H}^F_2 \equiv \mathscr{H}_1 \wedge \mathscr{H}_1 \quad .$$ Базис этого пространства задается антисимметризованными произведениями базисных состояний одночастичных гильбертовых пространств. Другими словами, векторы вида $$|ns\rangle \otimes |n^\prime s^\prime\rangle - |n^\prime s^\prime\rangle \otimes |ns\rangle \tag{2}$$ составляют основу в$\mathscr{H}^F_2$. Невзаимодействующий гамильтониан для такой системы может быть задан как

$$H = h \otimes \mathbb{I} + \mathbb{I} \otimes h \quad , \tag{3}$$

для которого мы видим, что вышеупомянутые базисные векторы являются собственными состояниями:

$$H\, \left( |ns\rangle \otimes |n^\prime s^\prime\rangle - |n^\prime s^\prime\rangle \otimes |ns\rangle\right) = \left(E_{ns}+ E_{n^\prime s^\prime}\right) \, \left(|ns\rangle \otimes |n^\prime s^\prime\rangle - |n^\prime s^\prime\rangle \otimes |ns\rangle\right)$$

---

Чтобы ответить на ваши вопросы: Прежде всего, если одночастичный гамильтониан имеет форму уравнения$(1)$, то имеет место некоторое вырождение, т.е. состояния с$s=\pm 1/2$дают одно и то же собственное значение. Далее предположим, что$E_{0s}\leq E_{ns}$для$n\geq0$.

Во-вторых, обратите внимание, что если в уравнении$(2)$у нас есть$n=n^\prime$и$s=s^\prime$, то состояние сводится к нулевому вектору: два фермиона не могут находиться в одних и тех же одночастичных состояниях (принцип Паули), т. е. не могут иметь оба одинаковых квантовых числа.

Следовательно, при рассмотрении задачи на собственные значения уравнения$(3)$, мы видим, что наименьшая возможная энергия, которую мы могли бы получить, чтобы собственный вектор отличался от нулевого вектора, равна$E_{0s=+1/2} + E_{0s=-1/2}$. Итак, да, возможно, что оба фермиона (здесь электроны) находятся в одночастичных состояниях, которые дают энергию основного состояния гамильтониана$(1)$и, следовательно, гамильтониана$(3)$слишком. Тем не менее, они не находятся в одном и том же одночастичном состоянии, так как их спиновые квантовые числа различаются!