Доказательства операторной алгебры [закрыто]

Я хотел бы попросить сообщество проверить первые два доказательства ниже и помочь мне пройти последнее, так как я, кажется, застрял. Заранее спасибо.

Доказательство 1. Даны два некоммутирующих оператора.$A$и$B$, то есть,$[A,B] = C$, покажите, что такие операторы не могут иметь одинаковые собственные векторы.

Пытаться:

Давайте попробуем доказать это, рассмотрев противоположный сценарий, то есть случай, когда они имеют один и тот же собственный вектор.$|\phi \rangle$:

$$\begin{cases} A |\phi \rangle = a | \phi \rangle = |\psi_1 \rangle \\ B |\phi \rangle = b | \phi \rangle = |\psi_2 \rangle \end{cases}$$

$$B\left( A |\phi \rangle\right) = B |\psi_1 \rangle = b |\psi_1 \rangle = ba |\phi \rangle$$

$$A \left( B |\phi \rangle \right) = A |\psi_2 \rangle = a |\psi_2 \rangle = ab |\phi \rangle$$

$$[A,B]|\phi \rangle = \left( AB - BA\right)| \phi \rangle = \left( ab - ba \right)|\phi \rangle = C|\phi \rangle = c |\phi \rangle$$

$$(ab - ba) = c \neq 0$$

Мы видим, что приведенное выше уравнение вместо этого должно равняться нулю, поэтому они не могут иметь один и тот же собственный вектор.$|\phi \rangle$если они не ездят.

Доказательство 2. Покажите, что если собственное значение оператора является действительным числом, то указанный оператор должен быть эрмитовым.

Пытаться:

Давайте использовать$A$как наш оператор, действующий на собственный вектор$|\psi \rangle$, затем

$$\begin{cases} A|\psi \rangle = a|\psi \rangle \\ \left( A |\psi \rangle \right)^{\dagger} = \langle \psi| A^{\dagger} = a^*\langle \psi| \end{cases}$$

$$\langle \psi| \left( A |\psi \rangle \right) = \langle \psi| a | \psi \rangle = a\langle \psi | \psi \rangle$$

$$\left( \langle \psi|A^{\dagger} \right) |\psi \rangle = \langle \psi|a^*|\psi \rangle = a^* \langle \psi| \psi \rangle$$

$$\langle \psi| A |\psi \rangle - \langle \psi|A^{\dagger} |\psi \rangle = a\langle \psi | \psi \rangle - a^* \langle \psi| \psi \rangle$$

По определению эрмитовым оператором является любой самосопряженный оператор, т.е.$A = A^{\dagger}$, также из гильбертова пространства, известно, что скалярное произведение вектора само по себе всегда равно нулю или положительно, т.е.$\langle \psi|\psi \rangle \geq 0$, являющийся нулевым тогда и только тогда, когда$|\psi \rangle = 0$, а здесь это не так, так как это тривиально, так что

$$\langle \psi| A |\psi \rangle - \langle \psi|A^{\dagger} |\psi \rangle = \left(A - A^{\dagger} \right)\langle \psi|\psi \rangle = a\langle \psi | \psi \rangle - a^* \langle \psi| \psi \rangle = \left( a - a^*\right) \langle \psi|\psi \rangle = 0$$

$$a=a^*$$

Только действительные числа являются сопряженными сами себе.

Доказательство 3. Предположим, что для данного уравнения собственное значение-собственный вектор состояние вектора зависит от внешнего параметра, например времени, и что над ним действует оператор, являющийся четвертой производной по времени. Если этот оператор эрмитов, найдите наиболее общий возможный оператор, который удовлетворяет этим условиям, и какие граничные условия на собственные функции необходимы.

Пытаться:

С использованием$A$как наш эрмитов оператор и$|\psi (t) \rangle$для собственного вектора, зависящего от времени, и$a(t)$для его собственного значения, я полагаю, самое простое уравнение собственного значения-собственного вектора, которое можно написать, было бы

$$A|\psi (t) \rangle = a(t) |\psi (t) \rangle$$

Что касается оператора, я бы сказал, что из него следует, что

$$A \sim \frac{\partial^4}{\partial t^4}$$

$$a(t) = a^*(t)$$

Теперь, основываясь на предположении, что я был прав до сих пор, начинается та часть, где я застрял. Я понимаю общую концепцию собственных значений и собственных функций, т.е.$a(t)$будет генерировать набор собственных функций$\psi(t)$, однако я не совсем понимаю, какие граничные условия потребуются из предоставленной информации, кроме того факта, что$a(t)$является действительным числом. Любые подсказки?