Как доказать это неравенство для оператора Гамильтона?

Я пытаюсь доказать следующее:

⟨ ψ | ЧАС ^ | ф ⟩ ⟨ ф | ЧАС ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | ЧАС ^ | ψ ⟩ ⟨ ф | ЧАС ^ | ф ⟩ ⩽ 0.

Я пробовал некоторые идеи, но ничего не мог достичь. Я воспользовался тем, что ЧАС ^ является эрмитовым, и, таким образом, первый член в неравенстве стал ⟨ ф | ЧАС ^ | ψ ⟩ * ⟨ ф | ЧАС ^ | ψ ⟩ "=" | ⟨ ф | ЧАС ^ | ψ ⟩ | 2 а затем по неравенству Коши-Шварца | ⟨ ф | ЧАС ^ | ψ ⟩ | 2 ⩽ ⟨ ф | ф ⟩ ⟨ ψ | ЧАС ^ ЧАС ^ | ψ ⟩ , но я вижу, что это просто удаляет | ф ⟩ из игры.

Еще была мысль написать ЧАС ^ в первом члене в обозначении внешнего произведения это дает:

⟨ ψ | ЧАС ^ | ф ⟩ ⟨ ф | ЧАС ^ | ψ ⟩ "=" ∑ я , Дж Е я Е Дж ⟨ ψ | я ⟩ ⟨ я | ф ⟩ ⟨ ф | Дж ⟩ ⟨ Дж | ψ ⟩
Я пытался работать над этим, чтобы получить неравенство, но это ни к чему не привело.

Любая помощь приветствуется.

Вы на правильном пути. Но почему бы не разделить это по-другому с Коши-Шварцем? Писать ЧАС "=" ЧАС ЧАС и дайте по одному квадратному корню каждому из векторов Psi и Phi.
Вы можете повторить это доказательство неравенства Коши–Шварца, вставив ЧАС в середине всех скалярных произведений.

Ответы (1)

  1. 2D контрпример: предположим

    ⟨ ψ | ψ ⟩   "="   1   "="   ⟨ ф | ф ⟩ , ⟨ ψ | ф ⟩   "="   0 , ЧАС ^   "="   | ψ ⟩ ⟨ ψ | − | ф ⟩ ⟨ ф | .

  2. Неравенство ОП верно для полуположительного оператора ЧАС ^ ≥ 0 , так как тогда он имеет четко определенный квадратный корень ЧАС ^ , и оно становится стандартным неравенством Коши – Шварца.

Да, верно, предложенное мной решение работает только для положительных гамильтонианов. Этот контрпример показывает, что это возможно не для всех гамильтонианов.
Пожалуйста, простите мое невежество, но этот гамильтониан, кажется, имеет отрицательное собственное значение для | ф ⟩ , разве он не должен иметь только положительные собственные значения?
Эрмитов оператор имеет действительные (но не обязательно положительные) собственные значения.
@VIP Обычно предполагается, что гамильтониан ограничен снизу по физическим причинам. Однако результат справедлив только для положительных операторов, и, следовательно, при заданном гамильтониане ЧАС ограничен снизу − м , м > 0 , результат справедлив для положительного оператора ЧАС + м . Физически, ЧАС + м эквивалентно ЧАС , вплоть до масштабирования энергии основного состояния.
Как доказать это неравенство для оператора Гамильтона?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v