Должна ли бесконечность включать в себя повторения?

Я не уверен, что вопрос достаточно точен. Давайте спросим: в бесконечной последовательности должен ли какой-либо данный участок повторяться (т. е. иметь другой участок, изоморфный ему)?

Ответ здесь мне кажется очевидным: нет. Вспомните аргумент Кантора о диагонализации. Я составляю бесконечное количество строк из 1 и 0, каждая из которых бесконечно длинна, например:

S1 1, 1, 1, 1, 1, . . .

S2 1, 0, 1, 0, 1, . . .

S3 0, 1, 0, 1, 0, . . .

S4 1, 0, 0, 1, 0, . . .

S5 0, 1, 1, 0, 1, . . .

Теперь я диагонализирую, чтобы создать новую последовательность Sx, первое значение которой противоположно первому значению S1, чье второе значение противоположно второму значению S2 и так далее.

Sx 0, 1, 1, 0, 0, . . .

Теперь я знаю, что Sx нигде не встречается ни в одной из бесконечного числа последовательностей S1. . . Сн. (Путем доказательства от противного. Предположим, что Sx идентично некоторой последовательности Sm, тогда должно быть так, что m-е значение Sx противоположно m-му значению Sm, потому что именно так было определено Sx. Противоречие.) Но если я знаю, что Sx не входит ни в один из S1 . . . Сн, тогда я также знаю, что эта последовательность не повторялась нигде в этом бесконечном множестве последовательностей.

Я чувствую, что этот факт следует применить к нашему вопросу о том, должен ли участок бесконечной последовательности повторяться или нет. Возможно, кто-нибудь еще увидит, как нам подключить эту последнюю ссылку.

Но может ли повторение характеризовать бесконечность? Или это должна быть натальность, то есть истинная бесконечность характеризуется неповторяемостью, то есть, как бы далеко мы ни ушли, ничего не повторяется, всегда есть какая-то модальность, какой-то аспект, принципиально новый?

Да к последнему. Чтобы понять бесконечность, я считаю, что лучше всего сначала усвоить понятие конечного.

Рассмотрим следующую нечисловую аналогию. Предположим, мы начинаем с прогулки по обычной (конечной) деревне, состоящей из нескольких домов. Предположим далее, что вы можете свободно ходить по этой деревне, чтобы посетить некоторые или все эти дома в любом порядке по вашему выбору.

Если вы начинаете с одного дома и продолжаете переходить от одного дома к другому и не заходите ни в один дом более одного раза, само собой разумеется, что в конце концов вы должны вернуться в исходную точку. Вы должны в конечном итоге исчерпать различные места, чтобы пойти. Интуитивно это верно для любой конечной деревни. Это было бы не так в «бесконечной» деревне, где вы могли бы начать с одного дома и никогда не возвращаться к нему во время прогулки, даже если бы вы могли идти целую вечность. Неудивительно, что деревня (или другой набор объектов) бесконечна тогда и только тогда, когда она НЕ конечна.

Можно сказать, что набор объектов бесконечен тогда и только тогда, когда можно начать с некоторого элемента и продолжать переход от одного элемента к другому, а также не переходить ни к одному элементу более одного раза (т . е. без повторения ) и никогда не возвращаться. к начальной точке.

(Также смотрите «Infinity: The Story So Far», только что переработанную в моем математическом блоге , для формального развития этих идей.)

Пожалуйста, смотрите мой ответ на этот аналогичный вопрос здесь .

Резюме: если множество возможных состояний ограничено, то какое -то состояние должно повторяться. Но если нет, то нет. Набор состояний 1, 2, 3, 4, ... никогда не повторяется. Но если вы говорите, что есть только 3 состояния, то какое -то состояние должно повторяться бесконечно много раз. Но не обязательно, что все состояния будут повторяться. Так, например, если существует бесконечно много вселенных и только конечное число правовых состояний, доступных в области пространства-времени, то кто -то имеет там бесконечно много копий самого себя; но скорее всего не я, и скорее всего не ты. Как дети говорят в наши дни: YOLO. Живем один раз. Они не осознают этого, но делают глубокий и проницательный вывод о космологии и метафизике.

Но, пожалуйста, посмотрите мой первоначальный ответ, в котором также рассматривается вероятностный аргумент, часто встречающийся в Интернете. Короче говоря, события с нулевой вероятностью могут происходить в бесконечных вероятностных пространствах; следовательно, вероятностный аргумент, что все мы живем много раз, неверен.

И кроме того: мы не знаем, какие ограничения накладываются законами физики на множество допустимых состояний. Таким образом, наивный аргумент, что «все должно происходить в бесконечном пространстве выборки», просто ложен.

Я бы сказал, что бесконечность и повторение не имеют ничего общего друг с другом на базовом уровне, но любое человеческое представление бесконечности может быть сделано только через повторение.

У нас есть только конечное число символов для работы, и с их помощью мы можем ясно определить только счетное множество вещей. Мы можем определить целые числа и дать каждому из них уникальное представление, а оттуда перейти к рациональным числам, а оттуда ко всем алгебраическим корням рациональных многочленов, а оттуда ко всем замкнутым целым формам с границами среди тех алгебраически отождествленных чисел, и т. д. и т. д. и т. д. После счетно-бесконечного количества слоев мы могли бы в конечном итоге получить представление для каждого действительного числа, в теории.

Но если мы действительно хотим записать намек на бесконечность, он должен быть в терминах конечного множества из этой башни все более и более сложных представлений, и, кроме того, если он действительно собирается быть детерминированным, он должен быть захвачен каким-то конечным алгоритмом, который выписал бы остальные представления, на которые мы ссылаемся. Следовательно, циклы или рекурсия, а значит, и повторение.

Когда мы думаем, что все точки реальной линии «выглядят одинаково», это происходит потому, что у подавляющего большинства из них не может быть названий, которые привлекли бы к ним наше внимание таким образом, чтобы это имело значение. Но это иллюзия, навязанная нам языком. Мы не можем зафиксировать детали каким-либо осмысленным образом с конечным числом символов.

(С конструктивистской точки зрения это означает, что большинство этих точек не существует, и все конечно с одной счетной итерацией, представленной как процесс. Бесконечные конструкции полезны для проецирования концепций, но если вы не можете построить результаты, вы у меня нет объекта. С этой точки зрения, все бесконечности счетны и недосягаемы. Таким образом, в этом настроении (которое мне удается в моих силах) ваше наблюдение верно.

Однако быть правым в действительности и быть правильным в принципе — не одно и то же, эта ассоциация в принципе ложна.)

Что такое повторение?

Популярные примеры до сих пор включают числа и подсчитываемые физические объекты, но все это чревато концепциями пространства-времени. Доля бесконечно продолжающегося числа не есть бесконечность. Предположение, что 1 единица может бесконечно прибавляться или вычитаться, не является бесконечностью.

Почему при определении бесконечности мы верим, что мы вообще можем применять принципы пространства-времени?

Бесконечность не существует в пространстве-времени, поэтому мы не должны подразумевать время при ее описании; следовательно, нет, бесконечность не должна включать в себя повторения.