Эквивалентность картин Гейзенберга и Шредингера

Я постараюсь сделать его максимально простым и интуитивно понятным. В картине Шредингера математическое ожидание данного оператора$\hat{\xi}$(которая сама застыла во времени) определяется следующим образом (с$\psi(t)$волновая функция нашей системы во времени$t$):

$$\langle \hat{\xi} (t) \rangle = \langle \psi (t) \lvert \hat{\xi} \rvert \psi(t) \rangle$$

Это просто среднее значение наблюдаемой, соответствующее$\hat{\xi}$если измерение производится во время$t.$Теперь именно потому, что значение ожидания создает прямую связь между тем, что мы предсказываем с помощью нашей теории в КМ, с тем, что мы наблюдаем экспериментально, логически, как бы мы ни шли к определению квантовой механики, мы должны получить те же самые значения для$\langle \hat{\xi} (t) \rangle$чтобы гарантировать, что мы собираемся предсказать правильные экспериментально ожидаемые значения (и, следовательно, иметь возможность утверждать, что эти два изображения эквивалентны).

Чтобы показать эту эквивалентность, мы сначала используем важное свойство унитарного оператора временной эволюции, а именно

$$\psi(t_1) = \hat{U}(t_1,t_0) \psi(t_0)$$

т.е. мы распространяем нашу волновую функцию во времени, действуя$\hat{U}$в теме. Теперь мы можем переопределить волновую функцию во времени$t$как его стоимость во времени$t=0$на что мы действуем$\hat{U}(t,0).$Итак, мы перепишем (простой заменой) наше исходное выражение для$\langle \hat{\xi} (t) \rangle$как:

$$\langle \psi (t) \lvert \hat{\xi} \rvert \psi(t) \rangle = \langle \psi (0) \lvert \hat{U}^{\dagger}(t,0) \hat{\xi} \hat{U}(t,0)\rvert \psi(0) \rangle$$ Из вышесказанного уже видна свобода выбора, т.е. решить действовать операторами времени либо на волновые функции, либо на оператор, выбрав последний, получаем:

$$\langle \psi (0) \lvert \left(\hat{U}^{\dagger}(t,0) \hat{\xi} \hat{U}(t,0)\right)\rvert \psi(0) \rangle = \langle \psi (0) \lvert \hat{\xi}(t) \rvert \psi(0) \rangle$$ Следовательно, мы успешно показали, что зависимость от времени также может быть реализована в операторах, а не в волновых функциях, при этом получая те же средние значения для выбранной нами наблюдаемой, поэтому давайте назовем $\psi(0) = \psi_h$с $h$для Гейзенберга и аналогично $\hat{\xi}(t) = \hat{\xi}_h(t).$С помощью этих обозначений вы можете легко связать оператор в картине Шредингера с оператором в картине Гейзенберга следующим образом:

$$\hat{\xi}_h(t)=\hat{U}^{\dagger}(t,0) \hat{\xi}_{\rm Schrödinger} \hat{U}(t,0)$$ Наконец, отсюда вы можете прямо получить выражение уравнения движения Гейзенберга (хотя вы его не просили, но мы прошли весь этот путь, можете также показать это...):

Возьмите производную по времени от$\hat{\xi}_h(t)$(используя последнее полученное уравнение) и используя соотношение$d\hat{U}/dt=-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\hat{U}$(а также что$[\hat{H},\hat{U}]=0$):

$$\begin{align*} \frac{d\hat{\xi}_h (t)}{dt} &= \frac{d\hat{U}^{\dagger}}{dt} \hat{\xi} \hat{U} + \hat{U}^{\dagger} \hat{\xi}\frac{d\hat{U}}{dt} \\ &= \frac{-1}{i\hbar}(\hat{U}^{\dagger}\hat{H}\hat{\xi}\hat{U}-\hat{U}^{\dagger}\hat{\xi}\hat{H}\hat{U})\\ &=\frac{1}{i\hbar}[\hat{\xi}_h (t),\hat{H}]. \end{align*}$$

Об их неравноценности. Да, это во многом фольклорный результат. Есть много способов сделать их неэквивалентными. Несколько примеров

https://arxiv.org/abs/1404.6775

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0375960102015086

https://arxiv.org/abs/0706.3867

В более общем смысле, в искривленном пространстве-времени картина Гейзенберга рассматривает все координаты на равных основаниях, в то время как картина Шредингера имеет в качестве предварительного условия наличие универсальной временной переменной, относительно которой развиваются состояния. Может и не быть или (если есть) это может привести к принципиальному несоответствию. В самом деле, Проблема Времени и есть та самая непоследовательность: доказательство от противного, что условие ложно и что, следовательно, Картины Шредингера вообще не существует. Таким образом, они неравнозначны в этом параметре.

Формальная эквивалентность двух изображений также игнорирует половину основ самой квантовой теории. Следует рассмотреть не один, а два постулата фон Неймана: постулат эволюции (состояния развиваются в соответствии с уравнением Шредингера) и постулат проекции (состояние при измерении выдает собственное значение и схлопывается до собственного состояния в соответствии с правилом Борна). . Кажется, все продолжают забывать о другом постулате.

Эквивалентность картины применима только к первому постулату. Версия эволюции в картинке Гейзенберга, конечно же, представляет собой уравнения Гейзенберга. Между двумя изображениями для второго постулата нет эквивалентности — потому что вообще не существует версии правила Борна в картинках Гейзенберга! Если вы попытаетесь сформулировать его, то обнаружите интересную новую инфраструктуру, которой нет в картинке Шредингера, но которая необходима для правильной обработки множества приложений правила Борна в картинке Гейзенберга. В нем содержится отчетливое «сейчас» и ощущение течения времени по отношению к нему. Но «поток» не входит в постулат эволюции; скорее это вытекает из постулата Проекции!

Вопрос о том, что такое правило Борна и как с ним обращаться, интерпретировать, объяснять или объяснять, является сутью того, что называется проблемой измерения. Затем разные ответы на этот вопрос порождают разные интерпретации квантовой теории (Бом, «множество разумов», «множество миров», «непротиворечивые истории», «физический коллапс», каждая из которых может быть пронизана анализом декогеренции).

Здесь тоже есть пробел. Тот же самый вопрос, заданный в отношении Правила Борна, теперь передается каждому из их предполагаемых заменителей: что такое версия Heisenberg Picture? И есть ли он вообще? Например: Многие миры и Бом.

Предварительные сведения Напомним, что представление алгебры в гильбертовом пространстве — это отображение алгебры в ограниченные операторы в некотором гильбертовом пространстве. Напомним также канонические коммутационные соотношения Гейзенберга

$$[q_i,p_k]=i\delta_{ik}I$$ Представлением таких отношений является набор операторов в некотором гильбертовом пространстве, удовлетворяющих одним и тем же коммутационным соотношениям. Типичным примером является представление Шредингера, которое в одном измерении реализуется оператором умножения $q=M_s$и оператор дифференцирования $p=-i\frac{\text d}{\text ds}$на гильбертовом пространстве $L^2(\mathbb R)$с мерой Лебега.

Эквивалентность различных изображений является следствием теоремы единственности фон Неймана, которая утверждает, что каждое неприводимое представление отношений неопределенностей Гейзенберга унитарно эквивалентно представлению Шредингера. Итак, если вы начинаете с матричной механики Гейзенберга, то есть вы предполагаете, что у вас есть представление (бесконечными) матрицами канонических коммутационных соотношений, тогда существует унитар, который «переводит» действие этих матриц над некоторым гильбертовым пространством в действие операторов Шрёдингера$q$и$p=-i\hbar\nabla_q$на гильбертовом пространстве$L^2(\mathbb R^n)$с мерой Лебега. Место, где встречаются эти две разные картины, — это нотация Дирака, включающая бюстгальтеры и кеды. Одним из способов доказательства этого является а-ля Дирак-Диксмье, который включает изучение спектра квантового гармонического осциллятора и доказательство того, что гамильтониан по существу является самосопряженным как следствие критерия Нельсона.

Грубая идея результата состоит в том, что единственность представления Шрёдингера грубо следует из того факта, что алгебра Вейля, вытекающая из оператора Вейля, изоморфна C*-алгебре компактных операторов в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве, которая известна иметь только один класс унитарной эквивалентности неприводимых представлений. Это можно построить, используя магическую функцию положительного типа на группе Гейзенберга.

$$\phi(z,t)=e^{-\frac{\Vert z\Vert^2}4+it},\qquad(z,t)\in\mathbb C^n\ltimes\mathbb R.$$