Зависимость математического ожидания от времени O^O^\hat O, если ∂O^∂t=0∂O^∂t=0\frac{\partial \hat O}{\partial t} = 0

В моих лекциях я приводил следующий вывод:

$$\frac{\partial}{\partial t} \langle \hat O \rangle = \frac{\partial}{\partial t}\int_{-\infty}^{\infty} \psi^* \hat O \ \psi \ dx$$

$$\implies \frac{\partial}{\partial t} \langle \hat O \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t}\left(\psi^* \hat O \ \psi \right) \ dx$$

$$\implies \frac{\partial}{\partial t} \langle \hat O \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial \psi^*}{\partial t} \ \hat O \ \psi \ dx + \int_{-\infty}^{\infty} \psi^* \ \hat O \ \frac{\partial \psi}{\partial t} \ dx$$

Что не имеет для меня смысла.$\hat O$и$\frac{\partial}{\partial t}$оба являются линейными операторами, и для крайнего правого интеграла в последней строке выше импликация такова.

$$\frac{\partial}{\partial t} \left( \hat O \ \psi \right) = \hat O \ \frac{\partial \psi}{\partial t}$$

Отсюда, вообще говоря, для двух линейных отображений$S$и$T$соответственно, применяя к вектору$\psi$в векторном пространстве$H$что

$$(S \ \circ\ T)(\psi) = (T \ \circ \ S)(\psi)$$ что не соответствует действительности, насколько я знаю. Единственная ситуация, когда это может быть правдой, - это если они являются обратными отображениями друг друга, но это исключение не может доказать вывод в целом, к которому оно стремится.

Что тут происходит? Это потому что

$$\frac{\partial}{\partial t} \left( \hat O \ \psi \right) = \frac{\partial \hat O}{\partial t} \psi + \hat O \frac{\partial \psi}{\partial t}$$

Если да, то я полагаю, что это правда, хотя в целом я нахожу концепцию$\frac{\partial \hat O}{\partial t}$вообще странно если$\hat O$не применяется к$\psi$или что-нибудь.