Если «Все S есть P» верно, противоречит ли это «Ни одно не-S не является не-P»?

У меня есть проблема, с которой я столкнулся в учебнике по логике, которую я не могу понять после нескольких попыток.

Скажем, мы предполагаем, что «Все S есть P» верно.

Позволяет ли это нам сделать вывод об истинности утверждения «Ни один не-S не является не-P», где не-X является дополнительным классом X.

Ответ учебника состоит в том, что значение истинности не может быть определено. Тем не менее, я, кажется, в состоянии доказать, что утверждение ложно. Вот как я это делаю:

  1. Если «Все S есть P» верно, то также верно, что S относится к набору объектов, который меньше или равен набору объектов, на которые ссылается P.
  2. Если S<=P, то никакое не-P не может быть S.
  3. Следовательно, все Non-P должны быть Non-S.
  4. В свою очередь, поскольку все не-P является не-S, должно быть какое-то не-P, которое является не-S.
  5. Если есть какой-то Non-P, который является Non-S, то есть какой-то Non-S, который является Non-P.
  6. Если есть какое-то не-S, это не-P, то утверждение «Нет не-S есть не-P» обязательно должно быть ложным, потому что оно противоречит предыдущему утверждению, к которому пришли посредством правильных умозаключений из истинных посылок. и поэтому должно быть верным.

Тем не менее, когда я рисую это на диаграмме Венна для «Все S есть P», есть случай, когда P относится к набору ВСЕХ объектов, что означает, что Non-P не существует, следовательно, все Non-S должны быть P , Это допускает редкий случай, когда утверждение выполняется, следовательно, истинностное значение утверждения не определено.

Обе линии рассуждений кажутся правильными, но противоречивыми. Что пошло не так?

Да, эти два предложения противоречат аристотелевской логике. Ваше рассуждение даже не близко к тому, ПОЧЕМУ эти два предложения противоречат друг другу. Вы случайно правы. Вы должны понимать, что существуют разные типы логики с разными правилами. Так что в математической логике это вообще не вопрос. Никогда бы не спросили. Правила вывода в аристотелевской логике показали бы, что два утверждения, которые вы формулируете, действительно противоречат друг другу. То есть оба предложения не могут быть истинными одновременно и оба не могут быть ложными. Если 1 верно, то другое должно быть ложно и наоборот.
В аристотелевской логике вы можете использовать правила вывода, такие как возражение, преобразование и т. Д., Чтобы доказать, что «Нет не-s не есть не-р» ИДЕНТИЧНО (не является логической эквивалентностью) пропозиции типа О: некоторые s не являются p. Квадрат оппозиции показывает, что предложения типа А противоречат предложениям типа О. Ваши рассуждения должны были быть близки к предмету дедуктивного рассуждения, а не вашему собственному изобретению. Возможно, вы путаете логику, поскольку все логики одинаковы. Возможно, вы думали, что логика — это дискретная математика или что-то в этом роде. В логике больше предмета, чем в математике.

Ответы (1)

Вы правы с "традиционной" точки зрения.

Проблема заключается в экзистенциальном значении категорических предложений :

Если утверждение включает такой термин, что утверждение ложно, если термин не имеет экземпляров, то говорят, что утверждение имеет экзистенциальный смысл по отношению к этому термину. Неясно, следует ли универсальное утверждение формы «Все А есть В» считать истинным, ложным или даже бессмысленным, если нет А.

В традиционном силлогизме вывод от «Все S есть P» к «Некоторые S есть P» ( субальтернация ) подтверждается предположением, что существуют S (а значит, и P).

В современной логике, хотя (обычно) правильно то, что «Для всех x Px» подразумевает «Некоторый x есть Px», современный перевод категорического утверждения таков: «Для всех x (если Sx, то Px)», то есть верно также, когда нет S, и поэтому мы не можем сделать правильный вывод: «Есть некоторые x (Sx и Px)».

Формально:

∀x(Sx → Px)

эквивалентно:

¬∃x(Sx и ¬Px)

что в свою очередь:

∀x(¬Px → ¬Sx) [шаги 1-3].

Теперь у нас есть субальтернация [шаг 4]:

∃x(¬Px и ¬Sx)

что неверно с современной точки зрения.

Рассмотрим ваше утверждение:

"если P относится к совокупности ВСЕХ объектов, это означает, что не-P не существует";

таким образом, ∃x(¬Px & ¬Sx) ложно : не -P не существует , а ∀x(¬Px → ¬Sx) ложно верно .

Это означает, что для современной логики вывод от: ∀x(¬Px → ¬Sx) к ∃x(¬Px & ¬Sx ) недействителен .

Это не означает, что ∃x(¬Px & ¬Sx) всегда ложно : если S остается для «Рыбы» и P для «Жизни в воде», мы имеем, что «Все рыбы живут в воде» истинно , и, следовательно, также «Все не -Water_living" не являются Рыбами" [шаги 1-3].

Но это не противоречит тому факту, что также верно и «Есть некоторые неВодные_живущие, которые являются не-Рыбами» .

Это ключ к ответу из учебника:

Действительный аргумент — это тот, который формирует истинные предпосылки и делает верный вывод .

Для современной логики субальтернация недействительна; но это не означает, что вывод всегда ложный .

Большое спасибо за ответ. Теперь я понимаю, что допущение об экзистенциальном значении должно сохраняться, чтобы имело место субальтернирование, потому что ни один вывод не может подразумевать больше, чем посылки.
Однако я не могу понять, как это устраняет вышеуказанное противоречие. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь (я знаю, что где-то нахожусь), но мне кажется, что в обоих случаях предполагается экзистенциальный импорт. Экзистенциальный импорт должен быть необходим для правильности шагов 1-6. Экзистенциальный импорт также является ключевым для нас, чтобы сказать, что P существует, только тогда P может относиться ко всем объектам. Как общее предположение может быть источником противоречия?
Ваше утверждение № 3 не имеет экзистенциального значения в случае «все есть P». (Вы утверждаете, что это верно, даже если нет экземпляров не-P.)
Если «Все S есть P» верно, противоречит ли это «Ни одно не-S не является не-P»?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v