Можно ли определить обоснованность аргумента как формулу?

Пусть A, B и C — предложения. Определите ARG(A, B, C) как следующий аргумент:

  1. А.
  2. Б.
  3. Следовательно, Ц.

Моя цель — создать формулу, истинностное значение которой эквивалентно « ARG(A, B, C) действителен» . Другими словами, я ищу формулу, которая дает истину тогда и только тогда, когда аргумент действителен .

Попытка №1

ARG(A, B, C) действителен тогда и только тогда, когда (A ∧ B) → C

К сожалению, эта попытка не работает. Доказательство: следующий аргумент неверен (источник: третий пример в википедии здесь ), но (A ∧ B) → C дает истину (поскольку A ложно):

  1. Все люди бессмертны.
  2. Сократ — человек.
  3. Следовательно, Сократ смертен.

Попытка №2

ARG(A, B, C) действителен тогда и только тогда, когда A ∧ B ∧ ((A ∧ B) → C)

К сожалению, эта попытка также не работает, потому что, хотя она работает для приведенного выше примера, эта попытка дает ложь для любого аргумента, который имеет ложную посылку (а известно, что есть действительные аргументы с ложными посылками).

Я пытался создать другие попытки, но я застрял.

Это невозможно? Если да, то почему (можете привести доказательства)? Если возможно, то какая формула?

Не путаете ли вы здесь достоверность с истиной?
@MoziburUllah Честно говоря, нет. По крайней мере, я так думаю. Почему ты так думаешь?
@MoziburUllah Я добавил уточнение в начале вопроса (хотя не уверен, связано ли оно с вашими мыслями или нет).
Есть много типов логики. То, что верно в аристотелевской логике, не то же самое, что верно в математической логике. Похоже, вы больше увлекаетесь математической логикой. Если вы пытаетесь найти способ доказать правильность каждой логической системы с помощью вашей программы, это было бы действительно интересно. Я также думаю, что вы путаете ПРАВДУ с понятием ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ. По правде говоря, таблица истинности не всегда дает ИСТИНА в реальном мире.
Из-за первой попытки: которая в основном имеет форму «p истинно, если и только если q истинно».
Это имеет значение только тогда, когда предложения р и q по существу являются одним и тем же предложением, но записаны по-разному.
То же самое для вашей второй попытки.
Справедливость (и структура формулы) не зависит от истинности посылок или выводов. Поскольку зависимости нет, то для любой формулы можно найти контрпример.
Очевидно, вам придется работать на метаязыке: Valid[ARG(A,B,C)] iff Taut[(A ∧ B) → C] .
@rus9384 Интересно. Это кажется правильным, но я еще не совсем убежден. Не могли бы вы расширить это до ответа, предоставив более подробную информацию об этом вашем «доказательстве»? Было бы здорово, спасибо :)
@MauroALLEGRANZA Спасибо!! Это то, что я ищу. Но я не уверен, что понимаю: если Val — это множество всех оценок, то, конечно, для любого заданного предложения P я могу вручную определить одну оценку, которая дает 0 для P, и тогда P не будет тавтологией. Тогда я бы сделал вывод, что тавтологии не существует, подразумевая, что все аргументы недействительны. Что мне не хватает?
@MauroALLEGRANZA Ах, значит, не все предложения, а только атомарные. На самом деле вы сказали это раньше, извините. Но я не знаю, что такое атомарное предложение. Можете ли вы объединить все свои комментарии в ответ и объяснить, что такое атомарные предложения? Спасибо :)
У меня такое чувство, что это технический вопрос, который я не понимаю. Но если вы пытаетесь оценить истинность аргумента с помощью логики, вы в проигрыше. Аргумент может быть вопиющим заблуждением, но все же верным. Мой отец говорит мне, что шрам на моей губе был вызван конкретным инцидентом. Это правда? Ну, это аргумент от авторитета... и тем не менее... это правда.

Ответы (2)

Общая форма ответа будет такой:

[p, ξ, N(ξ)]

Хорошо, теперь, когда я избавился от своей глупой шутки про Витгенштейна, более серьезный ответ.

Определение логической достоверности состоит в том, что аргумент действителен тогда и только тогда, когда вывод не может быть ложным, когда все посылки истинны. Мы можем довольно просто символизировать это:

ARG(A,...,Z, ξ)действует, еслиA ∧ ... ∧ Z ≡ ξ

Где A,...,Zесть любое количество посылок, A ∧ ... ∧ Zесть конъюнкция всех посылок и ξесть вывод или, другими словами, если конъюнкция всех посылок логически эквивалентна заключению.

Неформально это должно работать, поскольку приведенная выше формула подразумевает, что вывод не может быть ложным, если все посылки истинны, и, что то же самое, что вывод будет ложным, если хотя бы одна из посылок ложна. Я недостаточно умен, чтобы придумать формальное доказательство этому, но подозреваю, что такое доказательство невозможно.

Вы нарушаете задание: вывод может быть произвольным, а ваш A ∧ ... ∧ Z ≡ ξ— фиксированным.
Я не уверен, что понимаю ваше возражение. ξв моей формуле означает любое заключение.
Ну, вывод не должен быть A ∧ ... ∧ Z ≡ ξ. Может бытьA ∧ ... ∧ Z !≡ ξ
Я думаю, вы в корне неправильно понимаете, что это за формула. Я не говорю, что эта формула — единственный верный аргумент; Я говорю, что любой веский аргумент можно переписать в виде этой формулы. Приведенный вами контрпример не может служить формулой логической обоснованности, поскольку он выражает, что вывод верен только в том случае, если хотя бы одна из посылок ложна.
Более конкретно, я говорю, что действительный аргумент, приведенный в OP, может быть переписан как A & B = C(извините за изменение понятия, я разговариваю по телефону), и аналогичным образом любой действительный аргумент может быть переписан в эту форму.
Я не уверен, что это даже решает проблему неудачи попытки №1 в вопросе. Похоже, вы неправильно понимаете, о чем спрашивает ОП. ARG(A, B, C) OP определяется как (A ∧ B) → C, но какая формула, не зависящая от достоверности ARG(A, B, C) и зависящая только от A, B и C, может показать действительность ARG(A, B, C)?
Извините, что долго не давал отзыв. Пожалуйста, рассмотрите следующий аргумент: «Все чаши смертны. Сократ — это чаша. Следовательно, Сократ смертен». Этот аргумент действителен, но это не тот случай, когда A ∧ B ≡ C (при условии, что ≡ означает «тогда и только тогда»). Ты согласен? Я думаю, что это контрпример к вашей попытке.

Очевидно, вам придется работать на метаязыке (см.: тавтология ):

Valid[ARG(A,B,C)] тогда и только тогда, когда Taut[(A ∧ B) → C] .

Мы можем определить функцию Taut , предполагая некоторую долю теории множеств: мы должны определить оценку истинности объекта, т. е. функцию

v: Опора → {0,1} ,

где Prop — множество пропозициональных атомов (или пропозициональных переменных) языка: P1, P2, P3,...

Затем мы распространяем оценки на все формулы языка, используя обычные таблицы истинности для пропозициональных связок.

Пример: если формула α есть P1 ∧ P2 и у нас есть v(P1)=1 и v(P2)=0 , тогда v(α)=0 и так далее.

Определив множество Val всех оценок, имеем:

Taut[α] тогда и только тогда, когда ∀v ∈ Val : v(α)=1 .

Вся эта «машина» нуждается в метаязыке; таким образом, трудно создать формулу самого языка, которая могла бы выразить «семантические» свойства языка.

См.: Самореференция , Парадокс лжеца , Определения истины Тарского и арифметизация формального языка .

Спасибо. Мне до сих пор не ясна разница между «пропозициональными атомами» и «предложением». Можете ли вы привести пример предложения, которого нет , и пропозиционального атома, и того, что есть ? Это последний шаг для меня, чтобы полностью понять ваш ответ.
@PedroA - A является «атомом», а A ∧ B является «сложным предложением»: первое «неразложимо» (согласно синтаксису логики поддержки).
Можно ли определить обоснованность аргумента как формулу?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v