Графен и бутылка Клейна?

Я все еще не уверен, что именно вы хотите быть бутылкой Кляйна, но позвольте мне сделать несколько комментариев, которые могут помочь вам прояснить, что именно вы хотите знать. (Предупреждение: я пишу это, когда очень устал, прошу людей поправить меня.)

Прежде всего, нужно быть внимательным, чтобы отличать лентовидную структуру объема от ленточной структуры полубесконечной полосы (с ребрами). На втором рисунке 1 и 2 — это объемные ленточные структуры, а 3 — ленточная структура полубесконечной полосы. Я думаю, что вы смешиваете их.

• Объемное изображение : Оба импульса$k_x$а также$k_y$являются хорошими квантовыми числами. Предположим, вы начинаете с тривиального изолятора (разрыв в структуре полосы, номер 2 на вашем рисунке) и постоянно меняете параметры своей системы. Пока объемный зазор я открываю, у вас есть тривиальный изолятор. Внезапно объемный разрыв закрывается при одном значении ваших параметров ( критическая точка ) и снова быстро открывается, теперь вы находитесь в топологической фазе, НО структура объемного диапазона по-прежнему выглядит как на рисунке 2 выше. Как увидеть разницу в этих двух фазах? Один из способов — поиск краевых состояний.
• Краевое изображение: сделайте систему конечной вдоль$y$-направление, так что теперь только$k_x$является хорошим квантовым числом. Теперь у вас есть много полос, в зависимости от того, сколько узлов решетки вы добавили.$y$. Когда вы находитесь в тривиальной фазе, система все еще неполноценна и скучна. Пока вы изменяете параметры системы и достигаете критической точки, разрыв всех полос закрывается, а затем снова открывается большинство (но не все) полос (рисунок 3 выше). Если посмотреть на собственные векторы, то можно увидеть, что полосы с щелью соответствуют объемным состояниям, а полосы без щели (с точкой Дирака) соответствуют состояниям, локализованным вдоль края. Кроме того, эти краевые состояния являются устойчивыми.

Это я упоминаю, на случай, если здесь возникло какое-то недопонимание. Теперь к вашему вопросу, как можно увидеть связь между зонной структурой, зоной Бриллюэна и топологией? Интересно то, что нам нужно анализировать только объем, чтобы исследовать топологию системы, хотя интересная физика находится на краю (в литературе это называется соответствием объем-ребро ).

Предположим, мы добавляем к графену спин-орбитальную связь, которая сохраняет$S_z$, что означает, что хотя спин$SU(2)$симметрия не сохраняется, по-прежнему четко можно говорить о спине вверх/вниз (поэтому$U(1)$подгруппа по-прежнему является симметрией). Я думаю, что этот член откроет разрыв в точках Дирака в$K$а также$K'$и система превращается в изолятор. С$K$а также$K'$больше не важны, у нас есть четырехзонная модель (две от спина вверх/вниз и две от подрешетки A/B). С$S_z$сохраняется, (объемный) гамильтониан является блочно-диагональным

$H(\mathbf k) = \begin{pmatrix} H_{\uparrow}(\mathbf k) & \\ & H_{\downarrow}(\mathbf k) \end{pmatrix}$,

куда$H_{\uparrow}$/$H_{\downarrow}$находятся$2\times 2$матрицы. Поскольку система сохраняет симметрию обращения времени, два гамильтониана связаны преобразованием обращения времени$H_{\downarrow} = \Theta H_{\uparrow}\Theta^{-1}$. Поскольку зона Бриллюэна является тором, нам необходимо классифицировать карты$T^2\rightarrow \mathcal H$, куда$\mathcal H$является подходящим пространством$4\times 4$матрицы, подчиняющиеся некоторым ограничениям (инвариантность с зазорами и обращением времени). Однако для этой модели нам не нужно анализировать$\mathcal H$. Поскольку модель блочно-диагональная, мы можем рассматривать каждый блок отдельно, любой$2\times 2$матрица может быть записана на основе матриц Паули

$H_{\alpha}(\mathbf k) = d_0(\mathbf k) \mathbf I + \mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf{\sigma}$, куда$\alpha = \uparrow, \downarrow$(зависимость$d_0$а также$\mathbf d$на$\alpha$опущен для простоты обозначений).

Так как спектр$E(\mathbf k) = d_0(\mathbf k) + \sqrt{\mathbf d\cdot\mathbf d}$, мы можем непрерывно деформировать$d_0$обнулить и деформировать$\mathbf d\rightarrow \hat{\mathbf d}=\frac{\mathbf d}{|\mathbf d|}$без закрытия разрыва (и, таким образом, оставаться в том же топологическом классе). Таким образом, мы можем классифицировать каждый блок гамильтониана по отображению$T^2\rightarrow S^2$,$\mathbf k\rightarrow \hat{\mathbf d}(\mathbf k)$. Это в основном классифицируется второй гомотопической группой 2-сферы.$S^2$(номер обмотки),$\pi_2(S^2) = \mathbb Z$(ну карта от тора$T^2$и не$S^2$, поэтому нам нужен аргумент, почему мы можем использовать вторую гомотопическую группу, но я не буду сейчас углубляться в это). Количество обмоток$\hat{\mathbf d}(\mathbf k)$задается степенью формулы отображения

$C_1^{\alpha} = \frac 1{4\pi}\int_{T^2}d\mathbf k\;\hat{\mathbf d}\cdot\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_x}\times\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_y}\in\mathbb Z.$

Таким образом, каждый блок отдельно образует целочисленный квантовый эффект Холла (см. также этот ответ ). Обратите внимание, что$C_1$в основном является первым числом Черна, где$\epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = \hat{\mathbf d}\cdot\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_x}\times\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_y}$,$F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu}$куда$A_{\mu}(\mathbf k) = -i\langle\psi(\mathbf k)|\partial_{\mu}\psi(\mathbf k)\rangle$является фазой Берри для заполненных состояний (чтобы увидеть, как переписать фазу Берри в терминах$\hat{\mathbf d}$см. эту бумагу . Причина, по которой я избегал подхода с числами Черна, заключается в том, что нужно перейти к обсуждению векторных (или главных) расслоений, что еще больше все усложнит).

Теперь мы почти закончили. Мы нашли два числа Черна$C_1^{\downarrow}$а также$C_1^{\uparrow}$, есть ли номер Черна для комбинированной системы? С$H_{\downarrow} = \Theta H_{\uparrow}\Theta^{-1}$связаны симметрией обращения времени, можно показать, что$C_1^{\uparrow} = -C_1^{\downarrow}$. Таким образом, сумма$C_1^{\uparrow} + C_1^{\downarrow} = 0$, но разница$C_1^{\uparrow} - C_1^{\downarrow} = 2C_{spin}$хорошо определена и иногда называется спиновым числом Черна . Таким образом, вычисляя$C_{spin}\in\mathbb Z$скажет вам, является ли графен со спин-орбитальной связью топологическим или нет.

Однако если есть возмущение, которое нарушает$S_z$, то наша конструкция ломается. Но оказывается, что$C_{spin}$по-прежнему корректно определен, но только по модулю 2,$\nu = C_{spin} \text{mod} 2$. Вот почему люди называют это$\mathbb Z_2$-топологический изолятор, подробнее здесь (pdf-файл).

Конечно, есть много других способов увидеть связь с топологией, и это, вероятно, самый явный и элементарный способ сделать это. Это то, что вы хотели? Я подозреваю, что вас интересует карта$T^2\rightarrow\mathcal H$,$\mathbf k\rightarrow H(\mathbf k)$и когда вы говорите «энергетическое пространство», вы имеете в виду$\mathcal H$. Оказывается, это пространство гомотопически эквивалентно$\mathcal H \approx U(8)/Sp(8)$(называемый симплектическим классом) с помощью процедуры выравнивания полос. К сожалению, я слишком устал, чтобы понять, диффеоморфно ли это бутылке Клейна . Это то, что вас интересует?

Этот ответ получился намного длиннее, чем планировалось изначально.