Можем ли мы восстановить одномерные потенциалы в КМ по спектру? [дубликат]

Зная потенциал, можно найти спектр оператора Шрёдингера. Обратный вопрос: зная спектр, можем ли мы реконструировать потенциал? Например, гармонический потенциал имеет равноотстоящий спектр. Но верно ли обратное?

Это, конечно, похоже на проблему «слышания формы барабана», которая имеет отрицательный ответ. Но мы также должны заметить, что в классической механике, если потенциал симметричен, мы можем восстановить его по периоду колебаний как функции энергии частицы. Это связано с гениальной работой Авеля.

Нет. Рассмотрим Н -мерное векторное пространство с оператором А на этом пространстве. Учитывая базис собственных векторов, известно, что А диагональна относительно этого базиса, но элементы по диагонали (собственные значения) не определены.
В вашем последнем предложении, я полагаю, вы ссылаетесь на преобразование Абеля?
@Ultima Может быть, расширить этот комментарий до ответа?
Это имеет некоторое сходство с вопросами, возникающими в DFT, такими как первая теорема Хоэнберга-Кона, которая утверждает, что потенциал однозначно определяется плотностью основного состояния.
Следует отметить, что лучшее, на что вы можете рассчитывать, — это определение потенциала с точностью до симметрий , т. е. смещения и отражения.
@Danu Я не знаю терминологии. Но да, это некое интегральное преобразование.
Я бы сказал «да», потому что уравнению Шредингера удалось получить ряд Бальмера, который сначала был экспериментальным наблюдением. en.wikipedia.org/wiki/… . По крайней мере, это исключает "нет"
@annav ответ - нет ... см. мой ответ ниже ;-)
@yuggib, это математика, предсказывающая все данные. Я указываю, что данные привели к первоначальному математическому подтверждению модели КМ с атомом водорода. Ваше «нет» определяется существованием этого противоположного пути. Так что, может быть, это и не математическая теорема, но такая возможность существовала, к счастью для физики.
@annav, но я не думаю, что это была именно «обратная проблема», а скорее теоретическое подтверждение экспериментальных данных ;-)
@yuggib Они искали математическую модель, которая бы строго объясняла/имела_как_решение ряд Бальмера, без допущений модели Бора. на мой взгляд это наоборот.

Ответы (1)

Ответ - нет, я боюсь. Как вы, наверное, знаете, самосопряженный оператор Лапласа − Δ на л 2 ( р ) имеет чисто абсолютно непрерывный спектр р + .

Теперь пусть В е л ∞ ( р , р + ) — произвольная ограниченная положительная функция. Затем − Δ Икс + В ( Икс ) , где В действует как мультипликативный оператор, является самосопряженным и имеет спектр р + .

Изменится ли что-нибудь, если ограничиться потенциалами только с дискретным спектром?
@NorbertSchuch не до тех пор, пока оператор ограничен (и положителен). У вас могут быть встроенные собственные значения в непрерывном спектре (не уверен в 1D, но, например, − Δ Икс − Δ у + у 2 имеет гармонические собственные значения (от у , грубо говоря) вкладывается в непрерывный спектр, но общий спектр остается р + тем не менее).
Я имел в виду неограниченные потенциалы, которые имеют только точечный спектр, например, гармонический осциллятор. -- Но в сообщении, на которое ссылается выше Дану, есть пример потенциала, который воспроизводит равноотстоящий спектр, но не является гармоническим, так что ответ действительно все еще нет.
@NorbertSchuch На примере гармонии вы видите, что − Δ + В дает чисто дискретный спектр, если ( − Δ + В − я λ ) − 1 , λ е р , (резольвента) компактна. Оператор Икс 2 сам по себе (гармонический потенциал) имеет не дискретный спектр, а чисто непрерывный (это оператор положения в квадрате). В любом случае, вы можете воспроизвести дискретный спектр с другими операторами, как вы уже заметили ;-)
Можем ли мы восстановить одномерные потенциалы в КМ по спектру? [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v