Как функциональные определители операторов типа Лапласа используются в физике?

Ваш вопрос, кажется, состоит из двух частей. Во-первых, кажется, что использование функциональных определителей для представления (формально) результата вычисления интеграла по траекториям может быть для вас новым. Это так? Если это так, то я бы посоветовал сначала прочитать об этой идее. Это шире, чем дзета-регуляризация. Как только вы освоитесь с этим, я предлагаю подумать о второй части вашего вопроса, а именно о том, как используется дзета-регуляризация. Он подпадает под общий термин математической регуляризации формальных, расходящихся величин в КТП (в отличие, скажем, от Паули-Вилларса, размерной регуляризации, жесткого ограничения импульса и других физически мотивированных схем регуляризации). Это тесно связано с использованием методов теплового ядра в КТП. Я знаю целую книгу на эту тему на Amazon., и на arXiv есть много статей об этом. Тот факт, что он не требует внесения каких-либо изменений в пространство-время, делает его очень полезным для приложений, использующих пространство-время с границами или конечной протяженностью, например, эффект Казимира или струны.

Изменить: у меня есть немного времени, чтобы расширить этот результат.

Ты знаешь что

$$\int_{R} dx\,\exp(-\tfrac{1}{2}a x^2) = \sqrt{2\pi/a}\,.$$ Этот результат легко распространить на $$\int_{R^n} d^nv\,\exp(-\tfrac{1}{2}v^i M_{ij} v^j) = (2\pi)^{n/2}/\sqrt{\det M}\,,$$ где $M$является обратимым $n\times n$матрица. Мы можем формально распространить этот результат на бесконечномерный случай. Рассмотрим действие $$S[\varphi] = \tfrac{1}{2}\int dx\,\partial\varphi(x) \cdot \partial\varphi(x) = -\tfrac{1}{2} \int dx\,dy\,\varphi(y) \delta(x-y)\partial_x^2 \varphi(x)$$ в интеграле по путям $$\int [d\varphi] \exp(-S[\varphi] )\,.$$ Поскольку формально существует аналогия между векторами $v^i$и $\phi(x)$и между операторами $M_{ij}$и $-\delta(x-y)\partial_x^2$, мы можем предположить, что $$\int [d\varphi] \exp(-S[\varphi]) = \frac{A}{\det[-\delta(x-y)\partial_x^2]^{1/2}}\,,$$ где теперь у нас есть функциональный определитель. Числитель $A$представляет расходящуюся величину, и функциональный определитель также расходится без регуляризации. Мы можем думать об этом как о бесконечном произведении собственных значений. $$\det [-\partial^2] = \prod_{i=1}^\infty \lambda_i\,,$$ куда мы бросим $\delta(x-y)$потому что мы знаем, что этот оператор "диагональный" (т.е. локальный). Затем сконструируйте $\zeta$функция, связанная с оператором $\mathcal{O}$чей определитель мы вычисляем. $$\zeta_{\,\mathcal{O}}(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_i^s}\,,$$ где нам нужно $\lambda_i > 0$для всех $i$и ${\rm Re}\,s > 0$. Последнее ограничение можно ослабить с помощью аналитического продолжения. Но потом $$\zeta_{\,\mathcal{O}}^\prime(s) = -\sum_{i=1}^\infty \frac{\ln \lambda_i}{\lambda_i^s}$$ так что с помощью аналитического продолжения мы можем вычислить $\zeta_{\,\mathcal{O}}^\prime(0) = - {\rm tr}\, \ln \mathcal{O} = -\ln \det \mathcal{O}$. Для случая двух бесконечных параллельных пластин в 3-мерном пространстве. пространстве мы видим, что волновое число квантуется в направлении между пластинами, но непрерывно в двух других направлениях. Это приводит к интересному спектру оператора Лапласа. Чтобы увидеть дзета-регуляризацию, используемую при вычислении ее функционального определителя, посмотрите здесь .

составить формулу Шотоцкого$(x+i\epsilon)^{-1}=-i\pi \delta (x) +P(1/x)$

затем$-\frac{1}{\pi}Imlogdet(\Delta +i\epsilon-E)= \sum_{n}H(E-E_{n})$

поэтому logdet можно использовать для получения лестницы собственных значений для оператора Лапласа.