Может ли логика второго порядка (SOL) быть фундаментальной логикой?

Вторя тому, что было сказано в комментариях к вашему вопросу, идея «фундаментального» кажется немного нечеткой. Однако похоже, что вы спрашиваете что-то о силе логики второго порядка и ее способности быть основополагающей системой, которая может решить все (ну, во всяком случае, все, что разрешимо). Благодаря нашим инструментам металогики у нас есть такие идеи, как полнота и компактность .это может определить логику, и мы вполне вправе сказать, что второй порядок действительно обладает некоторыми сильными свойствами. Однако с точки зрения этих свойств логика второго порядка далеко не так сильна, как логика первого порядка. Сама по себе логика первого порядка даже не может быть использована в качестве совершенно целостной основы логики! Это из-за теорем Гёделя о неполноте .. Даже если мы примем результаты первого и откажемся от того, что не имеет значения наличие недоказуемых истин, поскольку мы можем посмотреть и увидеть, что они истинны, мы все равно не сможем доказать непротиворечивость логики первого порядка внутри самой себя! Вторая теорема о неполноте применима и к логике второго порядка, так что мы оказались бы в одной лодке. Если логики первого порядка, которая сильнее, недостаточно, чтобы сформировать основу для логики, то как может быть успех второго порядка, когда он гораздо менее силен?

Теорема Линдстрема - это результат металогики, который показал, что логика первого порядка является «самой сильной» логикой из-за наличия теоремы Левенгейма-Скулема, а также теоремы о компактности . Металогические результаты логики второго порядка показывают, что логика второго порядка (с полной семантикой) не обладает этими свойствами. Хуже того, как указал Куайн ( 1970 ), логика второго порядка даже не имеет полной системы доказательств! Это очень плохая новость для логики второго порядка. В конечном счете, ни одна аксиоматика не будет достаточно сильной, чтобы ее можно было использовать в качестве «фундаментальной» логики, и за это нам с особой благодарностью частично отвечает Тарский .и Гёдель. При этом логика первого порядка является для нас гораздо лучшим выбором, чем логика второго порядка.

Я уверен, что крайний срок для вашего эссе истек, но я надеюсь, что это дало (несколько) полезный ответ для всех, у кого есть подобный вопрос.