Квантовые числа орбитального углового момента - вычтены?

С двумя электронами с квантовым числом углового момента импульса$l=1$есть три возможности, вы можете эвристически думать о них так:

$L=0$: векторы углового момента различных электронов направлены в противоположные стороны. Таким образом, полный угловой момент равен$1-1=0$.

$L=1$: вектор углового момента одного из электронов указывает вдоль оси z, а других нет. Таким образом, полный угловой момент для этой конфигурации равен$1+0=1$

$L=2$: оба вектора углового момента выровнены, что дает$1+1=2$.

Вы также можете посмотреть на$m_l$квантовое число. У вас всегда есть два электрона с$l=1$, но различные возможные комбинации$m_{l_1}$и$m_{l_2}$дать вам другой полный угловой момент:

($m_{l_1}=1$и$m_{l_2}=-1$) или ($m_{l_1}=-1$и$m_{l_2}=1$) дает$L=0$,

($m_{l_1}=1$и$m_{l_2}=0$) или ($m_{l_1}=0$и$m_{l_2}=1$) или ($m_{l_1}=-1$и$m_{l_2}=0$) или ($m_{l_1}=0$и$m_{l_2}=-1$) дает$L=1$,

($m_{l_1}=1$и$m_{l_2}=1$) или ($m_{l_1}=-1$и$m_{l_2}=-1$) дает$L=2$.

Давайте рассмотрим более простой случай добавления двух частиц со спином 1/2, прежде чем делать вычисления для двух частиц со спином 1. Обсуждение в решающей степени зависит от операторов лестницы, поэтому, возможно, просмотрите их, если вы не знакомы.

Спин 1/2

Одночастичные состояния охватываются$\{|+\rangle , |-\rangle\}$поэтому двухчастичное состояние имеет основу:

$$\{ |--\rangle ,|-+\rangle , |+-\rangle , |++\rangle \}$$ обратите внимание, что два из них подчиняются обменной симметрии, а два средних - нет. Мы можем исправить это, переписав два средних состояния как комбинации симметричных/антисимметричных состояний: $$|-+\rangle = \frac{1}{2}(|-+\rangle +|+-\rangle )+\frac{1}{2}(|-+\rangle -|+-\rangle )$$ и аналогично для$|+-\rangle$, таким образом, наша двухспиновая система имеет базис, адаптированный к обменной симметрии: $$\{ |--\rangle ,\frac{1}{\sqrt{2}}(|-+\rangle +|+-\rangle ) , \frac{1}{\sqrt{2}}(|-+\rangle -|+-\rangle ) , |++\rangle \}$$

Теперь мы можем задать вопрос: каков полный спин в каждом из этих состояний? Для этого нужно знать оператор полного спина$J^2=(\vec{J}_1+\vec{J}_2)^2=J_1^2+J_2^2+2\vec{J}_1\cdot\vec{J}_2$Последний член можно записать через компоненты как$2\vec{J}_1\cdot\vec{J}_2 = 2J_1^z1J_2^z + 2(J_1^xJ_2^x + J_1^yJ_2^y)$и последний член снова можно переписать в терминах лестничных операторов:

$$2(J_1^xJ_2^x + J_1^yJ_2^y) = J_1^+J_2^- + J_1^-J_2^+$$

что, наконец, позволяет написать

$$J^2 = J_1^2+J_2^2 + 2J_1^zJ_2^z + J_1^+J_2^- + J_1^-J_2^+$$ (это выражение не ограничивается$J=1/2$случай).

Затем вы можете просто применить это к каждому состоянию и восстановить, что все три симметричных базисных состояния, которые мы записали, являются$J=1$состояния и антисимметричные состояния$J=0$.

Спин 1

В этом случае есть еще две частицы, но уже по три состояния в каждой. Получаем несимметричный базис с$3^2=9$состояния. Эти состояния не являются собственными состояниями полного углового момента$J^2$который должен хорошо вести себя при обмене частицами. Когда все сказано и сделано, мы получим восемь адаптированных по симметрии состояний, которые распадаются на набор из 5 симметричных состояний ($J=2$) набор из 3 антисимметричных состояний ($J=1$) и синглетно-симметричное состояние ($J=0$).

Вы можете думать о$J=0$состояния как имеющие спины, которые противонаправлены и, таким образом, компенсируются, но будьте осторожны с тем фактом, что эти состояния на самом деле являются (анти)-симметричными комбинациями одночастичных состояний, которые могут иметь для вас смысл, а относительные фазы играют важную роль. большую роль в определении конечного углового момента. Однако интуитивная картина правильно предсказывает, что добавление двух спинов$j_1, j_2$дает общее вращение$|j_1-j_2|\leq J \leq |j_1+j_2|$.