Как найти унитарные матрицы?

Хотя намек на достижение уравнения (01) моего комментария дается ohneVal в ее / его ответе, я приведу доказательство, найденное во многих учебниках.

Так что давайте$\:\sigma\:$любая конечная квадратная комплексная матрица (не обязательно$\:2\times 2\:$отшельники вроде Паули) с имуществом

$$\begin{equation} \sigma^{2}=I=\text{identity} \tag{A-01} \end{equation}$$ В общем $$\begin{equation} e^{it\sigma}=\cos\left(t\sigma\right)+i\sin\left(t\sigma\right) \tag{A-02} \end{equation}$$ Но здесь на основе выражений рядов тригонометрических функций $$\begin{align} \cos z & = 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\ =\ \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^kz^{2k}}{(2k)!} \tag{A-03a}\\ \sin z & = z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots\ =\ \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{(2k+1)!} \tag{A-03b} \end{align}$$ замена $\:z \longrightarrow t\sigma\:$в (A-03) имеем ⁽¹⁾ $$\begin{align} \cos\left(t\sigma\right)=& \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k(t\sigma)^{2k}}{(2k)!} =I\cos t \tag{A-04a}\\ \sin\left(t\sigma\right) =&\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k(t\sigma)^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sigma\sin t \tag{A-04b} \end{align}$$ и (A-02) пишется $$\begin{equation} e^{i t \sigma}=I\cos t+i\sigma\sin t \tag{A-05} \end{equation}$$ Довожу до вашего сведения : $$\begin{equation} H = \text{hermitian} \Longrightarrow U= e^{i\mathrm H}=\text{unitary and } \det U=e^{i\cdot tr(H)} \tag{A-06} \end{equation}$$ где $\:tr(H)\:$след $\:H$, действительное число.

Заметим, что матрицы Паули эрмитовы и бесследовые.

---

^{(1) Из (А-01)}

$$\begin{align} I & = \sigma^{0} = \sigma^{2}= \sigma^{4} = \sigma^{6}=\cdots=\sigma^{2k} \tag{A-07a}\\ \sigma & =\sigma^{3}= \sigma^{5} = \sigma^{7}=\cdots=\sigma^{2k+1} \tag{A-07b} \end{align}$$

---

^{(2) Если$\:\mathbf{n}=(n_{1},n_{2},n_{3}) \in \mathbb{R}^{3}$,$\Vert\mathbf{n}\Vert^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1$, является действительным единичным 3-вектором, и$\:\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})\:$три матрицы Паули, то матрица}

$$\begin{equation} \left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right) = n_{1}\sigma_{1}+n_{2}\sigma_{2}+n_{3}\sigma_{3}= \begin{bmatrix} n_3 & n_1-in_2 \\ n_1+in_2 &-n_3 \end{bmatrix} \tag{A-08} \end{equation}$$ эрмитова и бесследна, как матрицы Паули, и, кроме того, $$\begin{equation} \left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)^{2} = I \tag{A-09} \end{equation}$$ Так что если $\:t \in \mathbb{R}\:$затем из (А-05) $$\begin{equation} U \equiv e^{i t \left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)}=I\cos t+i\left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)\sin t \tag{A-10} \end{equation}$$ является унитарной матрицей. Замена (не случайно) $\:t \longrightarrow -\theta/2\:$ $$\begin{equation} U\left(\mathbf{n},\theta\right) \equiv e^{-i\tfrac{\theta}{2} \left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)}=I\cos \left(\theta/2\right)-i\left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)\sin \left(\theta/2\right) \tag{A-11} \end{equation}$$ которое является (специальным) унитарным матричным представлением вращения вокруг $\:\mathbf{n}\:$под углом $\:\theta$.

По определению, единственное, что вам нужно проверить, это то, что$V V^\dagger = V^\dagger V = \mathbb{I}$. Вы можете использовать экспоненциальное расширение Тейлора вместе со свойством$\sigma_i^2=\mathbb{I}$для$i=x,y,z$написать конкретные выражения для ваших операторов ($e^{it\sigma_j}$).

В качестве альтернативы возьмите сопряженный (кинжал) с обеих сторон и используйте его линейность вместе со свойствами матриц Паули для упрощения терминов. Вы должны быть в состоянии доказать, что

$$\left(e^{it\sigma_j}\right)^{\dagger} = e^{-it\sigma_j}$$ откуда следует унитарность.

Вот немного более абстрактное, но очень общее доказательство.

Сначала докажи себе, что$\exp(A)^† = \exp(A^†)$. Вы можете сделать это с помощью определения матричной экспоненты.

Далее докажите, что$\exp(a_1 A)\exp(a_2 A) = \exp((a_1+a_2)A)$. Это должно быть похоже на доказательство того, что$e^a e^b = e^{a+b}$для нормального возведения в степень. Также обратите внимание, что$\exp(A)\exp(B) \ne \exp(A+B)$для матриц вообще.

Наконец, покажите, что$(i\sigma)^† = -i\sigma$, и используйте это вместе с предыдущими двумя шагами, чтобы показать, что$\exp(i\sigma) \exp(i\sigma)^† = \exp(0) = I$.