Почему член ε2ε2\varepsilon^2 в бесконечно малом преобразовании равен нулю?

С другой стороны, если вы хотите сохранить условия$\epsilon^2$, вы также должны включить их в свое расширение, т.е.$U\approx 1+i \epsilon F - \frac{1}{2}\epsilon^2 F^2$так как они будут иметь вклад через перекрестные термины, когда вы расширяете

Вся суть здесь в том, что$U$является бесконечно малым унитарным преобразованием, поэтому мы пренебрегаем членами порядка$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$поскольку они по определению ничтожны для$\mathcal O(\varepsilon)$. Таким образом,

из которого мы видим$F= F^\dagger$, т.е.$F$должен быть эрмитовым. Обратите внимание, однако, что мы не всегда сохраняем члены только линейного порядка.

Например, в выводе Сакураи коммутационных соотношений для бесконечно малых вращений члены порядка$\mathcal O(\epsilon^2)$сохраняются, поэтому это несколько зависит от контекста.

С$\epsilon$бесконечно мала, т.$\epsilon^2FF^+$термином можно пренебречь. Сохраняйте термины только в первом порядке в$\epsilon$.

Вы можете думать обо всем этом выводе по-другому: у вас есть семья$U(t)$унитарных операторов (непрерывно), параметризованных$t$, такой, что$U(t_1+t_2) = U(t_1)U(t_2)$(думаю перевод). Следует, что$U(0)=1$. Кроме того, вы звоните$U'(0)=i F$(производная!), такой, что$U(\epsilon)$разложение Тейлора первого порядка выглядит как$U(\epsilon) = 1 + i\epsilon F$. Вы хотите показать, что$F = -i U'(0)$является эрмитовым, поэтому вы дифференцируете$U(t)U^\dagger(t) = 1$в$t=0$:

Таким образом, вы показываете, что алгебра Ли$\mathfrak{u}(n)$группы Ли$U(n)$унитарных матриц состоит из антиэрмитовых матриц (=$i$раз эрмитовых матриц).