В КМ мы имеем дело с базисными или ортонормированными множествами?

В большинстве учебников говорится, что при наличии (счетного) базиса | ф н ⟩ гильбертова пространства, что каждый вектор | ψ ⟩ пространства можно записать так:

ψ ⟩ "=" ∑ н "=" 1 ∞ а н | ф н ⟩

Но это бесконечная линейная комбинация, и каждый вектор должен быть выражен конечной линейной комбинацией.

Поэтому я думаю, что они представляют собой ортогональное множество, которое порождает векторное пространство как бесконечную линейную комбинацию (разница между бесконечным и конечным LC означает, что ортонормированные множества обычно меньше базиса).

Но по остальным свойствам | ф н ⟩ мне кажется основой.

Итак, это | ф н ⟩ базис или просто ортогональный набор?

Какой у Вас вопрос?
@Ниль де Бодрап Обновлено.
в qm то, что называется «базисом», действительно является полным ортогональным множеством. Я думаю, что это называется базисом, потому что оно напоминает понятие базиса в линейной алгебре, а не понятие базиса метрического (или, в более общем смысле, топологического) пространства.

Ответы (2)

Это основа. Проблема в том, что «базис» на самом деле расплывчат, если его вырвать из конкретного контекста, и здесь мы имеем базис Шаудера . Определение, которое вы узнали из основ линейной алгебры и которое требует конечной линейной комбинации, — это базис Гамеля .

Итак, Эрмит, Лежандр... многочлены образуют базис Шаудера?
Правильно: многочлены Эрмита образуют ортогональный базис Шаудера, если внутренний продукт имеет соответствующую (гауссову) весовую функцию, аналогично для Лежандра с другими оговорками, но да. Другой пример — базис Фурье. { 1 , потому что ⁡ н Икс , грех ⁡ н Икс : н > 0 } для (классов эквивалентности) функций периода 2 π .

Это вопрос определения.

Согласно Hirzebruch/Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis (1971) , определение 21.10:

Ортонормированная система { Икс я } я е я который удовлетворяет [ доказанным эквивалентным ] условиям этой теоремы, называется базисом Гильберта или просто базисом Икс .

Википедия называет это ортонормированным базисом , который является базисом Шаудера, если ваше бесконечномерное гильбертово пространство сепарабельно.

В КМ мы имеем дело с базисными или ортонормированными множествами?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v