Со и контравариант: тензоры или компоненты?

Да, контравариантные компоненты относятся к другому геометрическому объекту, чем ковариантные компоненты. Ковариантные компоненты — это компоненты вектора из двойственного пространства в векторное пространство, из которого исходят контравариантные компоненты. Два векторных пространства изоморфны , поэтому мы можем идентифицировать контравариантные элементы векторов с соответствующими элементами ковекторов из их пространства, используя простую линейную карту или «метрику».

Имея дело с матрицами, мы часто идентифицируем матрицы с одним столбцом как векторы, а матрицы с одной строкой — как ковекторы. Таким образом, повышение и понижение индексов аналогично операции транспонирования матрицы, когда компоненты вектора вещественны. Когда они ненастоящие, мы обычно используем комплексно-сопряженное транспонирование, чтобы сделать длину любого вектора положительным полуопределенным числом.

В квантовой механике мы обычно рассматриваем кет-векторы как векторное пространство, а бра-векторы как ковекторное пространство.

Итак, почему мы называем их ковариантными и контравариантными? Это связано с тем, что мы хотим, чтобы скаляры, полученные путем применения ковариантного вектора к контравариантному, были инвариантны относительно некоторых преобразований симметрии (например, вращения, преобразований Лоренца). Скажем, у нас есть контравариантный вектор, который меняется как:

Причина такой номенклатуры в том, что нам нравится думать о самих векторах как об инвариантных при преобразовании, поэтому мы пишем:

Для получения дополнительной информации см. раздел формулировки тензора в статье Википедии о преобразовании Лоренца.

Для ортогональных систем координат ковариантная и контравариантная компоненты совпадают. Разница проявляется, когда у вас есть наклонные системы координат. Вот довольно хорошее объяснение разницы с некоторыми иллюстрациями:

http://www.farmingdale.edu/faculty/peter-nolan/pdf/relativity/Ch04Rel.pdf

Поскольку мы имеем дело с конечномерным метрическим пространством, можно просто подумать о поле$\mathbf v$и две базы$\mathbf e_\mu$и$\mathbf e^\nu$такой, что$\mathbf e_\mu \cdot \mathbf e^\nu = \delta_\mu^\nu$. Затем$v^\mu$и$v_\nu$это просто коэффициенты$\mathbf v$в двух базах:$\mathbf v = v^\mu \mathbf e_\mu = v_\nu \mathbf e^\nu$.