Как точно определяется спин в квантовой механике?

Частицы со спином 1/2 связаны с угловым моментом в двух измерениях, а частицы со спином 1 связаны с угловым моментом в трех измерениях.

Это в лучшем случае в корне неверная и двусмысленная ерунда, и вам следует выбросить небрежный текст, в котором вы ее увидели. Это теория групп свино-латыни. Нелишним будет хорошее введение в теорию групп Ли. Я понимаю, что это именно то, чего вы стремитесь избежать, но это немного похоже на просьбу обойти исчисление и по-прежнему использовать его методы. Лучшее, о чем вы могли бы просить, — это нежное представление .

Ваше замешательство возникает из-за попыток физиков-новичков 1920-х годов понять квантовый угловой момент и вращение, а также то, как они входят в группу Лоренца и их теории.

И спин 1, и спин 1/2 (и более высокие целочисленные или полуцелые спины, если на то пошло) связаны с той же самой структурой алгебры Ли (1), которую вы записали. ((2) является простым следствием этого.) Операторы трех («генераторов»)$S_i$этой алгебры при соответствующем возведении в степень описывают группу вращений и ассоциированную группу Ли с той же алгеброй Ли.

Оказывается, что совершенно независимо от физики, по неизбежной математической необходимости, эти операторы могут быть неприводимо представлены матрицами 2×2, 3×3, 4×4, 5×5,... , действующими на пространствах 2d, 3d , 4d, 5d, ... векторы. Размерность этих векторных пространств соответствует спину s = 1/2, 1, 3/2,2 и т. д. ( D=2s+1 ). Оператор$S^2$в вашем (2) есть характерные разные «собственные значения» для каждого такого иррепа, а именно числа, умножающие единичную матрицу в каждой «пространственной» размерности D =2 s +1:$~~~S^2=s(s+1) 1\!\!1$. Изучите эти матрицы, которые, безусловно, включают те, о которых вы спрашиваете, со спином 1.

Эти пространства могут представлять специфические внутренние симметрии, такие как изоспин и т. д., но в пространстве-времени трехмерное представление соответствует нашим трем пространственным измерениям, в которых мы вращаемся, а двумерное представление соответствует абстрактному сложному двумерному «спинорному пространству», сильно отличающемуся от наших трех измерений . космические измерения, так что говоря об этом на одном дыхании с тремя космическими измерениями, как ваша язвительная цитата, вы обязательно смутитесь.

Эта замечательная теория групп была изобретена/открыта благодаря чистому разуму в 19 веке, и, когда в 20 веке появилась квантовая механика, у физиков были готовые инструменты, чтобы распознать в ней описанные правила отбора и связанные с ней явления Зеемана. Пытаться «вывести» его из физических «аксиом» так же глупо, как пытаться вывести матричное исчисление или даже геометрию из физики. Поскольку в то время физики не были слишком хорошо знакомы с алгебрами Ли, мудрецы вроде Вигнера и Дирака (свои братья) упростили им применение этих структур к КМ без чрезмерного формализма; но, в конце концов, вам лучше всего начать с элегантной и четкой математической теории и просто применить ее к физике, почти волшебным образом подобрав ее — так, как это делает геометрия.

Вы знаете, что спин естественным образом возникает из уравнений Дирака, но классическое обоснование спина было исторически более случайным. Роль, которую играет спин, хорошо описана anna v.

Что такое спин? Всякий раз, когда вы задаете такой вопрос в QM, вы попадаете в неловкую ситуацию, но вот. Это свойство, которое измеряется операторами, подчиняющимися

$$[L_i, L_j] = i \hbar e_{ijk} L_k$$ Это одна из самых простых нетривиальных алгебр, и в ней есть некоторая красота. Например, он не зависит ни от какой системы координат и имеет естественный масштаб. Т.е. если вы измените$L_i \rightarrow \lambda.L_i$мгновенно обнаруживается.

Вам не нужна теория групп, чтобы понять представление (но это помогает). Для 1/2 спина определите 2 состояния

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ и $$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ и найдите 3 матрицы 2x2, которые оперируют их и подчиняются коммутационным соотношениям. Если вы достаточно поиграете, появятся матрицы Паули. Некоторая алгебра показывает, что в этом случае угловой момент равен$\pm\hbar/2$(вращение 1/2).

Точно так же, если у вас есть частица с 3 возможными состояниями, вы получаете разные матрицы (очевидно), а спин принимает значения$-\hbar, 0, \hbar$.

Утверждение « Частицы со спином 1/2 связаны с угловым моментом в двух измерениях, а частицы со спином 1 связаны с угловым моментом в трех измерениях ». Частицы со спином 1/2 связаны со спиновым пространством, которое является сложным и двумерным, они не соответствуют напрямую двумерному пространству (или пространству-времени).