Какие компактификации группы Пуанкаре изучались?

Как известно, группа Пуанкаре некомпактна. Инвариантность Пуанкаре наблюдалась при скоростях и энергиях до 10 20 эВ в космических лучах. На днях я думал о том, как С U ( 2 ) гомоморфизм в С О ( 3 ) накладывает двойное покрытие, и я все думаю, может ли что-то подобное существовать в группе Пуанкаре, но, конечно, главная проблема в том, что группа не компактна.

Интересно, возможно ли вообще сделать компактификацию группы, которая согласуется с физикой низких энергий и при этом сохраняет некоторую форму изотропии пространства-времени. Например, я рассматривал возможность идентификации различных компонент связности (либо CP, либо инвертированных PT) группы на некоторой границе, согласующейся с энергиями порядка 10 28 eV, но с содержательным анализом размерностей, но не удалось проанализировать свойства симметрии и алгебраические свойства полученного многообразия (остается ли оно группой Ли после такого отождествления?)

Физическая интерпретация такого отождествления подлежит обсуждению, но я думаю, что конкретный пример компактификации, который я привел, в основном сводился бы к двойственности, которая непрерывно отображается между частицами с энергиями выше Е п (некоторая произвольная граничная энергия) и частицы с энергией ниже Е п и п или С п перевернутый. Это, например, сделало бы сохранение электрического заряда приблизительной симметрией.

Что-то подобное пытались? Или известны веские причины, почему это не сработало?

Не могли бы вы объяснить, что вы подразумеваете под групповой компактификацией? Вы имеете в виду пример? Связная компонента тождества группы Лоренца О ( 1 , 3 ) изоморфен п С л 2 ( С ) , который имеет очевидное двойное покрытие С л 2 ( С ) . Это относится и к группе Пуанкаре.
Ну, это часть, в которой я не уверен, потому что я не знаю, существует ли четко определенная процедура компактификации для групп, как для многообразий. Я надеялся взять группу Ли в качестве многообразия, применить компактификацию (в основном путем отождествления ее с другими вещами на заданной границе) и посмотреть, что «должно произойти» на границе, чтобы результирующее многообразие все еще было многообразием. Группа лжи
Двойное покрытие тождественной компоненты группы Пуанкаре является стандартным объектом. Нет проблем с тем, что группа некомпактна

Ответы (1)

Вы не можете вложить группу Пуанкаре или группу Лоренца в компактную группу Ли. г . В самом деле, обозначим алгебру Ли г как г и алгебра Лоренца как л "=" о ( 1 , 3 ) ≅ с л 2 ( С ) .

Форма убийства на г является неположительно определенным, но тогда и его ограничение на л . Ограничение формы убийства на г к л является л -инвариантно и поэтому пропорциональна форме Убийства на л , так как последняя является простой вещественной алгеброй Ли. Наконец, форма убийства на л имеет подпись ( 3 , 3 ) , противоречие.

По тем же соображениям вы не можете модифицировать дискретную подгруппу группы Лоренца и получить компактную группу: алгебра Ли не меняется, поэтому форма Киллинга не может стать неположительно определенной.

С другой стороны, существуют известные «компактификации» трансляционной группы. Вы можете либо мод из р / Z "=" С 1 или погрузить р → Т 2 как иррациональную обмотку в зависимости от того, какие компактификации вас интересуют.

Какие компактификации группы Пуанкаре изучались?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v