Замкнутая формула для [H^,[H^,...[H^,c^†µ,σ]]...]][H^,[H^,...[H^,c^µ, σ†]]...]][\шляпа{H},[\шляпа{H},...[\шляпа{H},\шляпа{c}^\dagger_{\mu,\sigma}]] ...]]

Учитывая часть взаимодействия общего гамильтониана многих тел,

ЧАС ^ "=" ∑ α , β , γ , дельта , о , о ′ О α , γ , о β , дельта , о ′ с ^ α , о † с ^ β , о ′ † с ^ дельта , о ′ с ^ γ , о ,
я определяю
С ^ 1 "=" [ ЧАС ^ , с ^ мю , о ] ,
С ^ н "=" [ ЧАС ^ , С ^ н − 1 ]   для каждого   н > 1.

Мне было интересно, есть ли какая-нибудь закрытая формула для С н , или, по крайней мере, более приятное отношение рекурсии. С 1 и С 2 легко вычисляются. Я также вычислил С 3 , что уже является довольно длинным и грязным расчетом! Но я не видел никакой закономерности и не смог записать общее выражение для С н . Это что-то известно? Можно ли сделать это?

Это может быть связано с тождеством Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа: en.wikipedia.org/wiki/…
Я потратил некоторое время, играясь с этим, но ничего не добился: я только восстановил новые нелинейные рекурсивные отношения, которые были ничуть не проще.

Ответы (1)

Намекать: Это извращенный способ представить теорию возмущений в картине Гейзенберга.

  1. Задайте набор порождающих операторов как

    г ^ мю о ( г ) "=" ∑ н "=" 0 ∞ г н н ! [ ЧАС ^ , [ ЧАС ^ , . . . [ ЧАС ^ , с ^ мю , о † ] ] . . . ] ] ⏟ н й − порядковый вложенный коммутатор   "=" МПБ   е г ЧАС ^ с ^ мю , о † е − г ЧАС ^
    и
    г ¯ ^ мю о ( г ) "=" ∑ н "=" 0 ∞ г н н ! [ ЧАС ^ , [ ЧАС ^ , . . . [ ЧАС ^ , с ^ мю , о ] ] . . . ] ] ⏟ н й − порядковый вложенный коммутатор   "=" МПБ   е г ЧАС ^ с ^ мю , о е − г ЧАС ^ .

  2. Уведомление

    г г г г ^ мю о ( г )   "="   [ ЧАС ^ , г ^ мю о ( г ) ]
    и
    г г г г ¯ ^ мю о ( г ) "=" [ ЧАС ^ , г ¯ ^ мю о ( г ) ] .

  3. Используйте коммутационные/антикоммутационные соотношения.

  4. Интегрируем полученные уравнения между [ 0 , г ] и повторите, чтобы найти коэффициенты разложения Тейлора г ^ мю о ( г ) и г ¯ ^ мю о ( г ) .

  5. Проверьте, можете ли вы найти какую-либо закономерность.

Это кажется хорошей идеей; мой с BCH был похож. Но я ничего не получаю от этого, я просто хожу по кругу, восстанавливая определения. Было ли это просто быстрым предложением, или вы действительно знаете, что действительно можете решить проблему с помощью этого подхода?
@Qwertuy Это предложение довольно быстрое (интуиция исходит из метода уравнения движения в методах функции Грина, древовидных расширений в QFT, в более общем плане пертурбативных диаграммных методов для решения нелинейных уравнений). Хотя у меня нет четкого ответа.
Замкнутая формула для [H^,[H^,...[H^,c^†µ,σ]]...]][H^,[H^,...[H^,c^µ, σ†]]...]][\шляпа{H},[\шляпа{H},...[\шляпа{H},\шляпа{c}^\dagger_{\mu,\sigma}]] ...]]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v