Нахождение лагранжиана пружинного маятника

$\newcommand{\er}{\hat e_r} \newcommand{\et}{\hat e_\tau} \newcommand{\d}{\dot} \newcommand{\m}{\frac{1}{2}m}$В радиальных координатах$\d\er=\d\theta \et$, и (здесь бесполезно)$\d\et= -\d r \er$.$\er,\et$являются единичными векторами в радиальном и тангенциальном направлениях соответственно. Из-за этого смешения единичных векторов (они движутся вместе с частицей) все становится немного сложнее, чем в обычной декартовой системе, где единичные векторы постоянны.

Для вашей частицы, написав$x+l\to r$, вектор положения:

Подставляя обратно значение$r=x+l,\d r=\d x$(и умножая на$\m$, мы получаем приведенное выше выражение?

Как вы можете видеть в моем выражении для$\vec v$У меня было две составляющие скорости — радиальная и тангенциальная. Поскольку они перпендикулярны, я могу просто возвести их в квадрат и добавить, подобно$T=\m\left(\d x^2 +\d y^2\right)$.

Дело в том, что это может быть скаляр, но он содержит вектор в своем выражении:

Полная кинетическая энергия есть сумма частей. Для этого есть кинетическая энергия в радиальном направлении$1/2 m \dot{x}^2$и в$\hat{\theta}$направление. Суперпозиция этих двух энергий образует общее. Мы должны принять это во внимание, когда будем записывать полную кинетическую энергию. Первый член в скобках — это квадрат лучевой скорости, а второй — версия$r^2 \dot{\theta}^2$(Определение квадрата угловой скорости), относящееся к этой конкретной проблеме. Вот еще немного о радиальной и угловой скорости. Надеюсь это поможет.

Кинетическая энергия должна быть$\frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2)$где$v_x$и$v_y$- скорость в соответствующем направлении.$x$должен быть$(l+x)*\sin \theta$и$y$должен быть$(l+x)*\cos\theta$возьмите производную по времени от обоих, затем возведите их в квадрат. Сделав это, осознайте, что$\cos^2 + \sin^2 = 1$поэтому сделайте необходимый факторинг, чтобы использовать тождество. Тогда средние члены с коэффициентом 2 сокращаются. Наконец, оставшееся соотношение — это уравнение кинетической энергии, которое есть в книге.

Не думайте об этом как о компонентах KE: скорее думайте об этом как о том, что общая KE тела является суммой его угловой KE и линейной KE (которая в данном случае находится в радиальном направлении)... Надеюсь. что помогает..