Коммутационные соотношения операторов Вирасоро [закрыто]

Показывать:

$$\boxed{\left<0,0|\left[L_n,L_{-n}\right]|0,0\right>=<0,0|n^2L_0+\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)\left|0,0\right>=<0,0|\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)\left|0,0\right>= \frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)\left<0,0|0,0\right> = \frac{D}{12}n(n^2-1).}$$

Почему исчезает первый член?

Чтобы увидеть это$\left<0,0|n^2L_0|0,0\right> =0$можно использовать коммутаторное соотношение алгебры и написать

$$2 L_0 |0,0 \rangle = (L_1 L_{-1} - L_{-1} L_1) |0,0\rangle =0$$ как это сделано у Полчински, стр. 59. Выражение равно нулю, потому что $L_{\pm 1}$можно рассматривать как обычный упорядоченный $$L_n=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} : \alpha_{n} \alpha_{-n} :$$ со всеми операторами уничтожения справа, уничтожающими $|0,0 \rangle$.

Почему$\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)=\frac{D}{12}n(n^2-1)$?

Разложим сумму на 2 члена

$$\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m) = \frac{D}{2} n \sum_{m=1}^{n-1}m -\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m^2$$ Первую сумму можно отождествить с одним известным конечным рядом $\sum_{k=1}^l k =\frac{l(l+1)}{2}$давать $$\frac{D}{2} n \sum_{m=1}^{n-1}m = \frac{D}{2}n\frac{(n-1)n}{2}.$$ Вторую сумму можно отождествить с другим конечным рядом из того же списка $\sum_{k=1}^l k^2 = \frac{l(l+1)(2l+1)}{6}$давать $$\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m^2= \frac{D}{2} \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.$$ Вычитание второй суммы из первой приводит к желаемому результату $$\boxed{\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)=\frac{D}{12}n(n^2-1)}.$$