Конформная компатификация Минковского и AdS

Предполагается, что конформная компактификация принадлежит проективному пространству, поэтому мы по-прежнему отождествляем точки вдоль лучей (классы эквивалентности при масштабировании).

$$(u,v,x_i)\sim \lambda (u,v,x_i), \quad \lambda \neq 0$$ Затем вы записали квадратное уравнение — уравнение, которое соответствует указанной выше идентификации — так что обе добавленные переменные $u,v$довольно сильно удаляются.

Для$v\neq 0$, вы можете масштабировать$v$используя приведенную выше эквивалентность для$v=1$, и$u$определяется квадрикой. Итак$v\neq 0$часть конформной компактификации может быть параметризована$x_i$, как вы и сказали.

Для$v=0$, мы явно получаем «новые точки», которые добавляются в пространство Минковского. Таким образом, полученное пространство не совсем совпадает с пространством Минковского. В нем есть новые точки. Если бы это было точно так же, мы бы назвали это не «конформной компактификацией пространства Минковского», а просто «пространством Минковского» (в других координатах).

Баллы, которые вы получаете за$v=0$может иметь произвольное$u$но у вас все еще есть уравнение, которое сводится к

$$\eta_{ij} x^i x^j = 0$$ и масштабная эквивалентность. Последнее позволяет установить $u=1$, например. Таким образом, баллы, добавленные из $v=0$находятся во взаимно однозначном соответствии с нулевыми векторами $x^i$в пространстве Минковского. Вы также можете визуализировать эти новые $v=0$указывает по-разному. Если масштабировать вектор $(u,v,x^i)$с $v=0$так что вы получите $v=1$, оба $u$и $x^i$будет масштабироваться до бесконечных значений. Точнее представить $v=\epsilon$, $u=c_u/\epsilon$, $x^i= c_x^i / \epsilon$. Здесь $c_u$вычисляется из квадрики, но дело в том, что мы добавляем классы точек $c^x_i/\epsilon$которые находятся в бесконечности – как в пространственноподобном, времениподобном, так и в нулевом направлениях. Для описания топологии вблизи нулевого перехода между двумя областями потребуется специальное обсуждение.

Эти особые тонкости несколько усложняют интерпретацию конформной компактификации. Результат прост для 1 + 1-мерного пространства Минковского. Конформная компактификация на самом деле$S^1\times S^1$. Причинно-следственная диаграмма Пенроуза выглядит так:$I^1\times I^1$, произведение двух отрезков прямых (ромб), но конформная компактификация завершает его и соединяет концы обоих отрезков прямых, образуя круг. Из-за обсуждения причинно-следственной диаграммы Пенроуза мы можем видеть, что на самом деле мы добавляем не бесконечно удаленные точки от «общих направлений», а только те, которые близки к световому конусу. Общие точки на бесконечности имели бы$\eta_{ij}x^ix^j$масштабирование как$1/\epsilon^2$но конформная компактификация выбирает только те, где это масштабируется как$1/\epsilon$.

Если вы добавите$1$в правой части квадратного уравнения вы не получите просто «конформную компактификацию пространства AdS». Вы получаете рекламное пространство! Глобальное пространство AdS может быть определено как гиперболоид, точно заданный уравнением, которое вы записали, без каких-либо идентификаций масштабирования в этом случае (уравнение не является масштабно-инвариантным из-за$1$член в правой части, так что это было бы невозможно). И действительно, можно увидеть, что$AdS_{d+1}$имеет симметрию$SO(d,2)$из (на единицу) многомерного пространства, в которое вложен гиперболоид.