Квантовые состояния: волновые функции или операторы

В типичном курсе/учебнике по квантовой механике для физиков и даже в « Квантовой теории Холла для математиков » состояния квантово-механической системы называются векторами в некотором гильбертовом пространстве. ЧАС . Я нашел несколько других, казалось бы, более точных источников, например « Квантовая механика для математиков» Тахтаджана , в которых говорится, что состояния на самом деле являются операторами , ограниченными следовыми классами на ЧАС . Частными примерами последнего являются одномерные проекции на векторы в ЧАС , так что это второе представление включает в себя первое.

Я не уверен, есть ли что-то не так с первой моделью, и это причина для введения второй, или вторая просто математически более сложное расширение первой, и это причина, по которой учебники имеют дело только с самый простой? Не похоже ли это на классическую механику, где можно сначала изучить только уравнения Ньютона и только потом ввести подход Гамильтона?

Первая модель пришла первой. Не стоит недооценивать силу инерции!
@Hurkyl Это не просто инерция. Уравнение Шредингера наиболее четко сформулировано в терминах векторов, и хотя вы можете перефразировать его как квантовое уравнение Лиувилля (что вы делаете, когда вам нужно), вы получаете значительный удар по концептуальной ясности, простоте концептуальных манипуляций и численной эффективности. когда вы это делаете. Вы держите более простую картину там, где она работает, потому что она облегчает науку.

Ответы (2)

Второе представление строго шире первого и используется для описания смешанных состояний , а также чистых состояний, описываемых первым представлением.

Существует несколько различных ситуаций, требующих использования смешанных состояний, но проще всего понять ситуацию с (классически) вероятностным источником состояний. В этой парадигме у вас есть процедура подготовки, которая обычно приводит к чистому состоянию. | ψ ⟩ е ЧАС , но по какой-то причине иногда выдает ошибку и выдает что-то еще. Таким образом, с какой-то (скажем) 5%-ной вероятностью процедура подготовки на самом деле даст вам какие-то другие | ψ ′ ⟩ е ЧАС , и по какой-либо причине вы не можете идентифицировать эти случаи до того, как они будут использованы, или после их последующего выбора.

Для описания этих ситуаций используется формализм матриц плотности . Любые и все квантово-механические предсказания для экспериментально измеримых величин будут по существу включать матричный элемент формы

А "=" ⟨ ψ | А ^ | ψ ⟩ .
Формализм матрицы плотности работает за счет умного перефразирования этого ожидаемого значения в виде
А "=" Т р ( А ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) ,
которое, как легко видеть, дает одну и ту же величину (либо прямым вычислением в базисе, либо выбором базиса с одним членом вдоль | ψ ⟩ ).

Однако в нашей ситуации мы обдумываем процедуру подготовки, которая может привести к множеству различных состояний, | ψ Дж ⟩ , с вероятностями п Дж . Каждый из них даст ожидаемое значение А Дж "=" Т р ( А ^ | ψ Дж ⟩ ⟨ ψ Дж | ) для нашего количества, и затем нам нужно усреднить эти результаты, взвешенные с соответствующими вероятностями п Дж . Из-за линейности трассы и разумного выбора нашего представления мы можем инкапсулировать всю процедуру подготовки в одну часть выражения:

А "=" ∑ Дж А Дж "=" Т р ( А ^ ∑ Дж п Дж | ψ Дж ⟩ ⟨ ψ Дж | ) .
Это означает, что истинным дескриптором системы является матрица плотности р "=" ∑ Дж п Дж | ψ Дж ⟩ ⟨ ψ Дж | , и это четко дает нам ожидаемое значение любого оператора А ^ с помощью А "=" Т р ( А ^ р ) .

Итак, существование полностью классического вероятностного источника квантовых состояний не совсем бесспорно, но в любом случае вы застряли с матрицами плотности: альтернатива состоит в том, чтобы иметь состояние, запутанное со своим окружением, и когда вы решите игнорировать окружающая среда (поскольку она больше не участвует в измерении) то, что у вас осталось, также является смешанным квантовым состоянием для системы.

Таким образом, после определенного момента смешанные состояния становятся необходимостью, и всякий раз, когда они появляются, вам нужно использовать оператор класса трассировки (матрицу плотности) в качестве дескриптора состояния системы.

Для любого квантового состояния (чистого или смешанного) всегда существует представление (по построению ОНС), где состояние является (проекцией в) вектором гильбертова пространства (это приводимое представление для смешанных состояний, но все же... ). Из-за этого факта описание смешанных состояний как невекторных состояний и чистых состояний как векторных состояний немного вводит в заблуждение и в некотором смысле упрощенно, поскольку оно не принимает во внимание, с каким представлением алгебры наблюдаемых мы имеем дело.
@yuggib Конечно, но большее векторное пространство не особенно уникально, и, что самое ужасное, конструкция не дает никаких гарантий, что результирующее чистое состояние имеет физический смысл (я действительно думаю, что в конце концов прослеживаемая запутанность по существу является причиной всех смешанных состояний , но вы не обязательно получите правильное описание указанной запутанности), так что в этом смысле такое представление также вводит в заблуждение. (Кроме того: что, если вы получите действительно, фундаментально смешанное состояние? Тогда вы лаете совершенно не на то дерево.)
В конечном счете, это довольно бессмысленная дискуссия - есть причины идти в любом случае, и этот пост документирует причины, по которым вы бы выбрали р , с таким намеком на существование дебатов, насколько я чувствовал, все еще вписывается в поток.
Я просто говорю, что «чистота» квантового состояния не связана с тем, является ли оно векторным состоянием или нет в каком-либо представлении. Это более фундаментальное свойство: чистое состояние — это состояние с «максимальной информацией» о системе (оно экстремально относительно подходящего частичного упорядочения), в то время как смешанное состояние имеет немаксимальную информацию. Это зависит только от рассматриваемой алгебры наблюдаемых, а не от возможной запутанности с окружающей средой. Конечно, чистое состояние составной системы может стать смешанным состоянием, если оно ограничено одной подсистемой, но это уже другая история.
При всем уважении, хотя это интересно и верно, я чувствую, что это слишком сильно по сравнению с OP, когда я его читаю («зачем даже использовать операторы вместо векторов?») - и я рад, что вы примете на себя ответственность, если ОП действительно больше интересует эти аспекты разницы.
Может быть, это правда, что он кажется более продвинутым, чем уровень вопроса ОП, но я думаю, что по крайней мере стоит упомянуть об этом ;-) На мой взгляд, это одна из тех тонких вещей, которые почти всегда не имеют значения, но когда они имеют значение они могут привести к удивительным вещам, если их не принять во внимание. Тем не менее, ваш ответ действительно ясен и, вероятно, прояснит ситуацию для ОП больше, чем мой.

Состояния квантово-механических систем в общем случае являются функционалами W*-алгебры наблюдаемых системы, которые сохраняют положительность и имеют норму один.

Все квантовые состояния не могут быть представлены одновременно как векторы в данном гильбертовом пространстве. Все так называемые нормальные состояния представимы либо с помощью ортогональной проекции на один вектор, либо с помощью положительного оператора следового класса с единичным следом. Однако существуют и ненормальные состояния (по крайней мере, для алгебр наблюдаемых, неприводимо представленных в бесконечномерных гильбертовых пространствах). Эти ненормальные состояния, однако, часто считаются «нефизическими» (я думаю, главным образом потому, что никто никогда не наблюдал явление, которое можно было бы объяснить только тем, что система находилась в ненормальном состоянии).

Ограничимся только нормальными состояниями. Существует важное различие между чистыми и нечистыми состояниями, которое в некотором смысле связано с различием между векторными состояниями и состояниями трассировки. Чистые состояния — это те, которые несут максимальную информацию о системе, тогда как смешанные состояния содержат неполную информацию и могут рассматриваться как «статистическая смесь» чистых состояний. Чистые состояния — это те, которые дают неприводимое представление алгебры наблюдаемых (через конструкцию GNS). В данном неприводимом представлении все чистые состояния задаются проекциями первого ранга на векторы гильбертова пространства, тогда как смешанные состояния задаются операторами трассировки, которые не имеют первого ранга.

Квантовые состояния: волновые функции или операторы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v