Лагранжиан из интеграла по путям

Если вы знаете пропагатора, т.е.$\langle x'|e^{itH}|x\rangle\,,$тогда вы могли бы дифференцировать по времени в$t=0$получить$\langle x'|H|x\rangle\,.$Отсюда имеем, используя разрешение тождества,$H|x\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx'\, |x'\rangle\langle x'|H|x\rangle\,,$из которого мы имеем$V(x)|x\rangle=\int_{-\infty}^\infty \, |x'\rangle\langle x'|H|x\rangle\,dx'-\frac{p^2}{2m}|x\rangle\,,$или принимая любое состояние$|\psi\rangle\,,$

$\displaystyle V(x)=\frac{\int_{-\infty}^\infty \, \langle\psi|x'\rangle\langle x'|H|x\rangle\,dx'-\frac{\Delta}{2m}\langle\psi|x\rangle}{\langle\psi|x\rangle}\,,$а потом$L=T-V\,.$

Таким образом, кажется, что это должно быть возможно в принципе (однако я сделал некоторое предположение о независимости гамильтониана от времени в моем выводе, но в данный момент мне кажется, что вы могли бы решить это без этого предположения).

Сами пропагаторы не показательны для вида лагранжиана. Они предоставляют информацию только о характере поля — например, скалярное/фермионное/векторное бозонное и т. д. (метрика гравитации?). Вещи, которые намекают на то, как выглядит лагранжиан, — это вершины/взаимодействия. В качестве простого примера: если у вас есть теория поля$\phi$с 4-зубцовой вершиной, то лагранжиан (скорее всего) имеет$\phi^4$-терм, или если у вас есть вершина бозон-фермион-антифермион, то, вероятно, есть терм$e \, \bar{\psi} {\not}{A} \psi$...

У меня есть предчувствие, что в общем случае это может быть невозможно. Поскольку вы уже интегрировали по полям, это было бы похоже на попытку найти исходный интеграл из действительного числа. Также основной интеграл по путям$Z[0] =1$независимо от поля, например.