В интегралах по путям фундаментальными являются лагранжиан или гамильтониан?

Question

В интегралах по путям фундаментальными являются лагранжиан или гамильтониан?

Эрих

При изучении континуальных интегралов у меня возник один вопрос... Какое представление является более фундаментальным для вычисления пропагатора?

Тот, который основан на гамильтониане (фазовом пространстве)?

К (Б | А) знак равно \int Д [п] Д [д] опыт {\frac{я}{ℏ} \int г т [п \dot{д} - ЧАС (п, д)]}

$K(B|A) = \int \mathcal{D}[p]\mathcal{D}[q] \exp \{ \frac{i}{\hbar} \int dt [ p \dot q - H(p,q) ] \}$

или основанный на лагранжиане (конфигурационном пространстве)?

К (Б | А) знак равно \int Д [д] опыт {\frac{я}{ℏ} \int г т л}

$K(B|A) = \int \mathcal{D}[q] \exp \{ \frac{i}{\hbar} \int dt L \}$

Читая тезис Фейнмана, мы видим, что он утверждает, что «[...] был разработан метод формулировки квантового аналога систем, для которых не существует гамильтониана, а есть принцип наименьшего действия. составляет этот тезис». Кажется, он принимает лагранжевую форму как более фундаментальную.

Другие авторы, такие как Хэтфилд или Суонсон, кажется, считают форму фазового пространства более фундаментальной. Они рассматривают другую форму как частный случай, когда $p$ зависимость квадратичная.

Итак, это мой вопрос.
Какой из них более доверчив? Есть ли пример, когда одно представление является привилегированным?

Тримок

Гамильтонова формулировка является более фундаментальной. Однако с помощью простого гамильтониана типа

H = \frac{p^{2}}{2 m} + V (q)

$H = \frac{p^2}{2m}+ V(q)$ , если сделать интегрирование на

p

$p$ , вы легко найдете формулировку Лагранжа

Эрих

Почему гамильтониан более фундаментален? Есть какой-то пример, где, следуя ларагиану, мы находим неправильный ответ? А как же тезис Фейнмана? Где он, кажется, описывает пример с негамильтоновой формой?

Тримок

Уже на классическом уровне у вас будут проблемы с гамильтонианами, такими как

H = \frac{p^{2}}{2 m} + λ p q

$H =\frac{p^2}{2m} + \lambda pq$ . Уравнения Гамильтона дадут

\dot{p} / m + λ p = 0

$\dot p/m + \lambda p=0$ . Такого рода соотношение не может быть получено из уравнений Эйлера-Лагранжа.

Эрих

@Trimok не может? Извините, если я что-то ввожу в заблуждение ... но конкретный гамильтониан, который вы показываете, кажется, хорошо себя ведет в преобразовании легендра ... импульсы

p = m (\dot{q} - λ q)

$p = m(\dot q - \lambda q)$ (здесь нет ограничений), а лагранжиан просто

L = \frac{m}{2} {\dot{q}}^{2} + \frac{m}{2} λ^{2} q^{2} - λ m q \dot{q}

$L = \frac{m}{2} {\dot q}^2 + \frac{m}{2} \lambda^2 q^2 - \lambda m q \dot q$ . Эйлер-Лагранж дает нам

\ddot{q} - λ^{2} q = 0

$\ddot q - \lambda^2 q = 0$ что в точности то же самое, что получается из канонических уравнений (если мы подставим

p

$p$ ).

Тримок

Вы правы...: Я также проверил, что для этого конкретного гамильтониана две формулировки эквивалентны на классическом уровне. Теперь канонический импульс

p = m (\dot{q} - λ q)

$p = m (\dot q - \lambda q)$ физически очень "особенный"..

Ответы (1)

В интегралах по путям фундаментальными являются лагранжиан или гамильтониан?

Гамильтонова формулировка является более фундаментальной. Однако с помощью простого гамильтониана типа $H = \frac{p^2}{2m}+ V(q)$ , если сделать интегрирование на $p$ , вы легко найдете формулировку Лагранжа
Почему гамильтониан более фундаментален? Есть какой-то пример, где, следуя ларагиану, мы находим неправильный ответ? А как же тезис Фейнмана? Где он, кажется, описывает пример с негамильтоновой формой?
Уже на классическом уровне у вас будут проблемы с гамильтонианами, такими как $H =\frac{p^2}{2m} + \lambda pq$ . Уравнения Гамильтона дадут $\dot p/m + \lambda p=0$ . Такого рода соотношение не может быть получено из уравнений Эйлера-Лагранжа.
@Trimok не может? Извините, если я что-то ввожу в заблуждение ... но конкретный гамильтониан, который вы показываете, кажется, хорошо себя ведет в преобразовании легендра ... импульсы $p = m(\dot q - \lambda q)$ (здесь нет ограничений), а лагранжиан просто $L = \frac{m}{2} {\dot q}^2 + \frac{m}{2} \lambda^2 q^2 - \lambda m q \dot q$ . Эйлер-Лагранж дает нам $\ddot q - \lambda^2 q = 0$ что в точности то же самое, что получается из канонических уравнений (если мы подставим $p$ ).
Вы правы...: Я также проверил, что для этого конкретного гамильтониана две формулировки эквивалентны на классическом уровне. Теперь канонический импульс $p = m (\dot q - \lambda q)$ физически очень "особенный"..

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к вопросу (v2):

1) Соответствие между лагранжевой (L) и гамильтоновой (H) теориями изобилует тонкостями. Доступны некоторые общие инструменты для сингулярных преобразований Лежандра, такие как анализ Дирака-Бергмана, метод Фаддеева-Джекива и т.д. теорий (таких как, например, Янга-Миллса, Чернса-Саймонса, ОТО и т. д.), в которых проработаны обе стороны соответствия ЛГ.

2) В целом интегралы по траекториям плохо изучены, если не считать пертурбативного разложения вокруг гауссовой свободной теории, поэтому нужно подумать о том, что произойдет, если импульсы $p$ не являются квадратичными, это просто часть большей проблемы.

3) Принципиальное различие между лагранжевой и гамильтоновой теориями состоит в том, что в гамильтоновых теориях формально существует канонический выбор меры интеграла по путям, в то время как мера интеграла по лагранжевым траекториям традиционно является фиксированной лишь по модулю калибровочно-инвариантных множителей. В этом смысле гамильтонова формулировка является более фундаментальной.

В частности, если мы предположим, что фазовое пространство гамильтоновой теории снабжено симплектической двумерной формой

\begin{matrix} (1) & ю знак равно \frac{1}{2} г г^{я} ю_{я Дж} \land г г^{Дж}, \end{matrix}

$\tag{1} \omega~=~\frac{1}{2} dz^I ~\omega_{IJ} \wedge dz^J,$

существует канонический множитель меры

\begin{matrix} (2) & р знак равно п ф (ю_{я Дж}) \end{matrix}

$\tag{2} \rho~=~ {\rm Pf}(\omega_{IJ})$

дается (супер) Пфаффианом , по крайней мере, для конечномерных интегралов, которые при благоприятных обстоятельствах могут быть обобщены на бесконечные измерения. Этот коэффициент измерения $\rho$ всего 1 в координатах Дарбу $(q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots , p_n)$ с $\omega = dp_i \wedge dq^i$ .

Что касается лагранжиана-гамильтониана, то, что вы сказали о мере, сделало меня более ясным. В любом случае, при анализе различий подходов было бы неплохо вычислить другие интегралы по путям... О негауссовых интегралах по путям... знаете ли вы о каких-либо усилиях по вычислению случаев, когда импульсы не являются квадратичными? Или есть какой-то принципиальный запрет?

В интегралах по путям фундаментальными являются лагранжиан или гамильтониан?

Эрих

Тримок

Эрих

Тримок

Эрих

Тримок

Ответы (1)

Qмеханик

Эрих

Вывод лагранжевой формы интеграла Фейнмана по траекториям посредством интегрирования по Гауссу

Имеется ли гамильтониан КТП, существует ли уникальный лагранжиан?

Вывод лагранжевого интеграла по траекториям из гамильтонова интеграла по траекториям

Лагранжиан из интеграла по путям

Как доказать, что величина, входящая в показатель интеграла по путям, является лагранжианом?

Почему бы не использовать лагранжиан вместо гамильтониана в нерелятивистской КМ?

Почему гамильтониан и лагранжиан взаимозаменяемы в расчетах возмущений КТП

Принцип наименьшего действия (классическая и квантовая теория)

Есть ли причина, по которой лагранжиан просто появляется в интеграле по путям?

Зависимость равновременной коммутации электромагнитного поля