Есть ли причина, по которой лагранжиан просто появляется в интеграле по путям?

Я видел тот вывод, в котором они начинают с пропагатора уравнения Шредингера и вводят разрешение тождества между каждым членом. И бум! В фазе появился лагранжиан. Но почему?

Я бы просто принял это как «это то, что есть», если бы лагранжиан не был важной величиной, вытекающей из совершенно другой формулировки классической механики.

В нынешнем виде лагранжиан теперь имеет две связи с гамильтонианом. Одним из них является преобразование Лежандра. Другой случай, когда лагранжиан появляется в интеграле по путям. Итак, еще раз... почему лагранжиан появляется в интеграле по путям?

РЕДАКТИРОВАТЬ Чтобы быть более точным, существует ли вывод интеграла по путям, который использует общий гамильтониан ЧАС ( Икс , п ) для пропагатора и показывает, что преобразование Лежандра ЧАС должны появиться в фазе?

Или это просто случайность, что так случилось с гамильтонианом п 2 2 м + В ( Икс ) ?

Что непонятно в записи nCatLab ?
@JeanbaptisteRoux Иногда , когда мы читаем доказательство, ответ кажется случайностью.
@JeanbaptisteRoux Посмотреть правку
Ответ на ваш вопрос в редактировании - да. См. «Квантовую теорию поля» Вайнберга, глава 9. В частности, раздел 9.3. Конечно, я рекомендую всю главу, но первые три раздела отвечают на ваш вопрос.
@JG Это не тот тип «несчастного случая». Здесь проблема заключается в том, что мы определяем лагранжиан из классической механики, которая возникает из квантовой механики, которую преподают после первой. Было бы удобнее определить лагранжиан или, точнее, действие, как показатель степени интеграла по путям.

Ответы (2)

Интеграл по путям существует для произвольных гамильтонианов, по крайней мере, в его гамильтоновой форме (где мы интегрируем по обоим д ( т ) и п ( т ) ), см. книгу Вайнберга по QFT, глава 9.1. который выводит интеграл по путям без каких-либо предположений о структуре ЧАС . При условии, что ЧАС "=" п 2 + В ( д ) — распространенное упрощающее предположение, позволяющее избежать некоторых надоедливых аргументов, но в этом нет необходимости.

Лагранжева версия, где мы интегрируем только по лагранжевой траектории. д ( т ) - требует принятия квадратичного импульса, но в обоих случаях фаза е я С , т. е. действие нашей теории в зависимости либо от гамильтониана, либо от лагранжевой траектории.

Спрашивая: «Почему показатель степени является преобразованием Лежандра?» следовательно, это отвлекающий маневр - показатель степени - это просто действие. Причина, по которой появляется действие, заключается в том, что классический путь должен (по крайней мере, интуитивно) доминировать над интегралом, а классические пути являются в точности стационарными точками действия, следовательно, точками, в которых фаза изменяется медленнее всего. Если мы собираемся получить интеграл по фазе, то показатель степени этой фазы должен быть функцией, подобной классическому действию, прежде чем выполнять какие-либо вычисления, исключительно по принципу классического предела/принципа соответствия/как бы вы ни называли это эвристика.

Если вы принимаете, что классическое действие является интегралом лагранжиана (и, следовательно, интегралом преобразования Лежандра гамильтониана), здесь нет ничего более загадочного (см. этот вопрос для обсуждения того, что на самом деле делает преобразование Лежандра )

Итак, действие проявляется, потому что это количество «предпочитает» классический путь. А лагранжиан — это просто его производная по времени по определению. Но разве вы не сказали бы, что причина, по которой действие «предпочитает» классический путь, в первую очередь связана с тем, что он является интегралом преобразования Лежандра гамильтониана? Я имею в виду... это математика, которая "кодирует" принцип стационарного действия.
@EggMan Конечно, все это взаимосвязано, но это дело вкуса, какие из утверждений классической механики являются «аксиомами», а какие «производными». Я просто говорю, что нет ничего действительно "квантового" в происходящем там действии.

Причина перекрытия

(1) ⟨ д ф , т ф | д я , т я ⟩   ∼   ∫ д ( т я ) "=" д я д ( т ф ) "=" д ф Д д   Д п   опыт ⁡ [ я ℏ С [ д , п ] ] ,
дается гамильтоновым интегралом по путям в фазовом пространстве с гамильтоновым действием
(2) С [ д , п ]   "="   ∫ т я т ф г т   [ п д ˙ − ЧАС ( д , п ) ] ,
по существу следует из 2-х фактов:

  1. Унитарная эволюция во времени управляется гамильтонианом.

  2. Симплектика п д ˙ термин следует из п д формула перекрытия

    (3) ⟨ п , т ∣ д , т ⟩   "="   1 2 π ℏ опыт ⁡ [ п д я ℏ ] .

См., например, мой ответ Phys.SE здесь для получения более подробной информации о переписке между

(4) Операторный формализм ⟷ Формализм интеграла по путям

Наконец, чтобы перейти от интеграла по траекториям Гамильтона к интегралу по траекториям Лагранжа, выполните интегрирование по импульсу.

Но выполнение интегрирования импульса для интеграла по путям дает преобразование Лежандра только в том случае, если у нас есть p ^ 2 в гамильтониане (возможно, в нескольких других случаях, но не в целом). Таким образом, это соответствие, по-видимому, каким-то образом связано со «случайностью» в том, что кинетическая энергия равна p^2, не так ли?
@lalala: (возможно, сингулярное) обратное преобразование Лежандра в принципе работает (по крайней мере, полуклассически ) даже для зависимости от импульса более высокого порядка. Конечно, на практике мы не знаем, как явно выполнять интегралы по путям, кроме гауссовских интегралов по путям и их возмущений.
Есть ли причина, по которой лагранжиан просто появляется в интеграле по путям?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v