Матричная производная матрицы с ограничениями

1. Настраивать. Пусть дано$m$-мерное многообразие$M$с координатами$(x^1, \ldots, x^m)$. Пусть дано$n$-мерное физическое подмногообразие$N$с физическими координатами$(y^1, \ldots, y^n)$. Пусть будет дано$m-n$независимые ограничения

   $$\chi^1(x)~\approx~ 0,\quad \ldots,\quad \chi^{m-n}(x)~\approx~ 0, \tag{1}$$ которое определяет физическое подмногообразие$N$. [Здесь$\approx$означает слабое равенство, т.е. равенство по модулю ограничений.] Предположим, что $$(y^1, \ldots, y^n, \chi^1, \ldots,\chi^{m-n})\tag{2}$$ представляет собой систему координат для расширенного многообразия$M$.

2. производная Дирака. По аналогии со скобкой Дирака введем производную Дирака

   $$\begin{align}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_{\! D} ~:=~&\frac{\partial}{\partial x^i} -\sum_{a=1}^{m-n}\frac{\partial \chi^a}{\partial x^i}\left(\frac{\partial }{\partial \chi^a}\right)_{\! y} ~=~\sum_{\alpha=1}^n\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^i} \left(\frac{\partial }{\partial y^{\alpha}}\right)_{\! \chi} ,\cr & \qquad i~\in~\{1,\ldots, m\}, \end{align}\tag{3}$$ который проецируется на физическое подмногообразие $$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_{\! D} y^{\alpha}~=~\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^i} , \qquad \left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_{\! D} \chi^a~=~0,$$ $$i~\in~\{1,\ldots, m\},\qquad \alpha~\in~\{1,\ldots, n\},\qquad a~\in~\{1,\ldots, m\!-\!n\}.\tag{4}$$

3. Примечание. Во многих важных случаях можно выбрать физические координаты$(y^1, \ldots, y^n)$так что производная Дирака (4) может быть записана как линейная комбинация неограниченных частных$x$-только производные, без ссылки на$(y,\chi)$-система координат (2), ср. уравнения (10) и (14) ниже.

4. Коммутируют ли производные Дирака? Коммутатор

   $$\left[ \left(\frac{\partial}{\partial x^i} \right)_{\! D}, \left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right)_{\! D}\right] ~=~\sum_{\alpha,\beta=1}^n\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^i}\left[\left(\frac{\partial }{\partial y^{\alpha}}\right)_{\! \chi}, \frac{\partial y^{\beta}}{\partial x^j}\right] \left(\frac{\partial }{\partial y^{\beta}}\right)_{\! \chi} - (i\leftrightarrow j)~\stackrel{?}{\approx}~0 \tag{5}$$ слабо пропадает? Не обязательно. Но если преобразование координат$x^i \leftrightarrow (y^{\alpha}, \chi^a)$линейна, то производные Дирака коммутируют.

5. Пример. Пусть физическое подпространство является гиперплоскостью $N=\{\chi(x)=0\}$с ограничением

   $$\chi~=~\sum_{i=1}^m x^i.\tag{6}$$ Определение физических координат $$y^{\alpha}~=~ x^{\alpha} -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x^i, \qquad \alpha~\in~\{1,\ldots, n\!=\!m\!-\!1\}.\tag{7}$$ Наоборот, $$x^{\alpha}~=~y^{\alpha} +\frac{1}{m}\chi, \qquad \alpha~\in~\{1,\ldots, n\}, \qquad x^m~=~-\sum_{\beta=1}^n y^{\beta}+\frac{1}{m}\chi.\tag{8}$$ Производные связаны как $$\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} ~=~\left(\frac{\partial }{\partial y^{\alpha}}\right)_{\! \chi} -\frac{1}{m} \sum_{\beta=1}^n\left(\frac{\partial }{\partial y^{\beta}}\right)_{\! \chi} +\left(\frac{\partial }{\partial \chi}\right)_{\! y}, \qquad \alpha~\in~\{1,\ldots, n\},$$ $$\frac{\partial}{\partial x^m} ~=~ -\frac{1}{m} \sum_{\beta=1}^n\left(\frac{\partial }{\partial y^{\beta}}\right)_{\! \chi} +\left(\frac{\partial }{\partial \chi}\right)_{\! y}.\tag{9}$$ Производная Дирака становится после некоторой алгебры $$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_{\! D} ~=~\frac{\partial}{\partial x^i} -\left(\frac{\partial }{\partial \chi}\right)_{\! y} ~=~\frac{\partial}{\partial x^i} -\frac{1}{m} \sum_{j=1}^m\frac{\partial}{\partial x^j},\qquad i~\in~\{1,\ldots, m\}.\tag{10}$$

6. Пример. Дифференциация относительно симметричную матрицу можно рассматривать как дираковское дифференцирование (3), где ограничения (1) задаются антисимметричными матрицами. Определять

   $$\begin{align}s_{(ij)}~:=~ \frac{M_{ij}+M_{ji}}{2} &\quad\text{and}\quad a_{(ij)}~:=~ \frac{M_{ij}-M_{ji}}{2}\quad\text{for}\quad i~>~j;\cr &\quad\text{and}\quad d_{(i)}~:=~M_{ii}.\end{align}\tag{11}$$ Наоборот, $$M_{ij}~=~\theta_{ij}(s_{(ij)}+a_{(ij)})+\theta_{ji}(s_{(ji)}-a_{(ji)}) + \delta_{ij}d_{(i)} ,\tag{12}$$ где дискретная ступенчатая функция Хевисайда$\theta_{ij}$здесь предполагается подчиняться$\theta_{ii}=0$(без неявной суммы). Производные связаны как $$\frac{\partial}{\partial M_{ij}} ~=~\frac{\theta_{ij}}{2}\left(\frac{\partial}{\partial s_{(ij)}}+\frac{\partial}{\partial a_{(ij)}}\right)+\frac{\theta_{ji}}{2}\left(\frac{\partial}{\partial s_{(ji)}}-\frac{\partial}{\partial a_{(ji)}}\right) + \delta_{ij}\frac{\partial}{\partial d_{(i)}} .\tag{13}$$ Производная Дирака становится после некоторой алгебры $$\left(\frac{\partial}{\partial M_{ij}}\right)_{\! D}~=~\frac{\theta_{ij}}{2}\frac{\partial}{\partial s_{(ij)}}+\frac{\theta_{ji}}{2}\frac{\partial}{\partial s_{(ji)}} + \delta_{ij}\frac{\partial}{\partial d_{(i)}} ~=~\frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial M_{ij}} +\frac{\partial}{\partial M_{ji}}\right).\tag{14}$$

7. Примечание. Дополнительные сложности возникают, если координаты и/или ограничения не определены глобально. Для начала достаточно, чтобы (2) была системой координат в трубчатой ​​окрестности$N$.

8. Репараметризация ограничений. Предположим, что существует вторая система координат

   $$(\tilde{y}^1, \ldots, \tilde{y}^n, \tilde{\chi}^1, \ldots,\tilde{\chi}^{m-n})\tag{15}$$ (который мы украшаем тильдами), так что $$\tilde{y}^{\alpha}~=~f^{\alpha}(y), \qquad \tilde{\chi}^a ~=~ g^a(y,\chi)~\approx~0.\tag{16}$$ Это означает, что $$\left(\frac{\partial }{\partial \chi^a}\right)_{\! y} ~=~ \left(\frac{\partial \tilde{\chi}^b}{\partial \chi^a}\right)_{\! y} \left(\frac{\partial }{\partial \tilde{\chi}^b}\right)_{\! \tilde{y}}, \qquad \left(\frac{\partial }{\partial y^{\alpha}}\right)_{\! \chi} ~\approx~\left(\frac{\partial \tilde{y}^{\beta}}{\partial y^{\alpha}}\right)_{\! \chi} \left(\frac{\partial }{\partial \tilde{y}^{\beta}}\right)_{\! \tilde{\chi}}, \tag{17}$$ то есть $$\Delta_{\chi}~:=~{\rm span}\left\{\left(\frac{\partial }{\partial \chi^1}\right)_{\! y}, \ldots ,\left(\frac{\partial }{\partial \chi^{n-m}}\right)_{\! y}\right\} ~\subseteq~ TM\tag{18}$$ является инволютивным распределением, а $$\Delta_y~:=~{\rm span}\left\{\left(\frac{\partial }{\partial y^1}\right)_{\! \chi}, \ldots ,\left(\frac{\partial }{\partial y^n}\right)_{\! \chi}\right\} ~\subseteq~ TM\tag{19}$$ является слабым распределением.

   Можно показать, что производная Дирака и ее коммутаторы

   $$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)^{\sim}_{\! D}~\approx~\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_{\! D}, \qquad \left[ \left(\frac{\partial}{\partial x^i} \right)^{\sim}_{\! D}, \left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right)^{\sim}_{\! D}\right]~\approx~ \left[ \left(\frac{\partial}{\partial x^i} \right)_{\! D}, \left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right)_{\! D}\right], \tag{20}$$ [прав. системы координат (15) и (2) соответственно] слабо согласуются. Это показывает, что производная Дирака (3) является геометрической конструкцией.

9. Субподмногообразие. Учитывая$p$-мерное физическое подподмногообразие$P$с физическими координатами$(z^1,\ldots,z^p)$. Пусть будет дано$n-p$независимые ограничения

   $$\phi^1(y)~\approx~ 0,\quad \ldots,\quad \phi^{n-p}(y)~\approx~ 0, \tag{21}$$ которое определяет физическое подмногообразие$P$. Предположим, что $$(z^1, \ldots, z^p, \phi^1, \ldots,\phi^{n-p})\tag{22}$$ образует систему координат для подмногообразия$N$. Можно показать, что $$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)^{\!(P)}_{\! D} ~=~\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)^{\!(N)}_{\! D} - \sum_{a=1}^{n-p}\left(\frac{\partial \phi^a}{\partial x^i}\right)^{\!(N)}_{\! D}\left(\frac{\partial }{\partial \phi^a}\right)_{\!z}, \qquad i~\in~\{1,\ldots, m\}. \tag{23}$$ Это показывает, что построение производной Дирака ведет себя естественно относительно. дальнейшие ограничения.

Мне кажется немного неуместным дифференцировать ортогональную матрицу по ее компонентам. По определению это будет означать, что вы хотите выяснить, как изменяются другие компоненты матрицы, если вы изменяете компонент. Однако это однозначно определено только в случае SO (2), но не для SO ($N>2$). Чтобы увидеть это более явно, рассмотрим вращение в 3D. Здесь у вас есть 3 угла, и если вы хотите изменить одну запись, есть вообще разные возможности. Это, конечно, не что иное, как утверждение, что ТАК($N>2$) имеет более одного генератора.

Следовательно, более разумный способ (ИМХО) дифференцировать ортогональную матрицу - записать ее как

Просто чтобы уточнить ваше утверждение о том, что зависимость производной плохая: вы можете вывести формулу для SO (2), также используя параметризацию