Многоцентровая геометрия Тауба-НУТ и гомологически нетривиальные циклы

1. Существование нормируемых гармонических 2-форм в многоцентровой геометрии Тауба-НУТ на самом деле вовсе не очевидно. Конкретную форму этих форм можно найти в «Динамике кратных монополей Калуцы-Клейна в М- и теории струн» Сена , который дает их (адаптированные к обозначениям в вопросе) как

   $$\begin{align} \omega_i & = \mathrm{d}\xi_i \tag{1a}\\ \xi_i & = V^{-1} V_i (\mathrm{d}x^{10} + \omega\cdot\mathrm{d}x) - \omega_i \cdot \mathrm{d}x,\tag{1b}\end{align}$$ где$V_i = \frac{m}{x-x_i}$. Сен, в свою очередь, цитирует «Движение монополей Калуцы-Клейна» Рубака как источник этих формул, где оказывается, что внешняя производная в уравнении. (1a) предназначена только для работы в качестве производной по координатам пространства Тауба-NUT, которые не $x^{10}$, если я правильно понимаю обозначения Рубака. Рубак, в свою очередь, любезно цитирует «Пейдж, Д.Н.: частное сообщение; Юилле, А.Л., доктор философии. Диссертация, Комбриджский университет (1980) неопубликована» как источник этих формул, так что на этом след заканчивается.

2. $\omega^0$в цитате из Губсера не «обязан своим существованием какому-либо конкретному свойству», потому что он не связан с базисом 2-циклов, который возникает из линий между центрами монополей Тауба-НУТ - вы заметите, что применяя двойственность Пуанкаре этим$n-1$циклы дает нам только$n-1$компактно поддерживаемые (и, следовательно, нормализуемые) моды. Обратите внимание, что эти режимы не$\omega_i$из уравнения (1a), так как, хотя они и нормализуемы, они не имеют компактного носителя. Так что Губсер имеет в виду, что$\omega^0$является дополнительным нормализуемым режимом, который не проявляется через двойственность Пуанкаре, в то время как остальные нормализуемые режимы имеют «компактно поддерживаемые версии», которые мы можем видеть через гомологический аргумент. Удобно, что это объясняет несоответствие между версией улучшения калибровки Тауба-NUT и типом IIa.$D_6$-улучшение датчика браны:

Если вы посмотрите на подход типа IIa, вы заметите, что общая калибровочная группа$\mathrm{U}(N) = \mathrm{SU}(N)\times\mathrm{U}(1)$, но подход Тауба-NUT, рассматривающий циклы, дает только$\mathrm{SU}(N)$. Дополнительная нормализуемая мода, не возникающая из-за циклов, как раз и является объяснением$\mathrm{U}(1)$.

Я собираюсь предложить небольшую кость здесь. Меня несколько интересует роль пространства-времени Тауба-NUT, поэтому мой вклад поможет мне отслеживать это, чтобы читать другие вклады. Спасибо за статью Губсера.

С более физической точки зрения я просто выброшу кое-что с магнитными монополями, которые связаны с пространством-временем Тауба-НУТ, содержащим гравимагнитные монополи. Мне нравится пытаться помещать сложные темы в контекст простых идей. Монополь Дирака представляет собой полубесконечный солоноид, где конец солоноида приблизительно является магнитным монополем. Это означает, что другой конец находится достаточно далеко, чтобы поле диполя не проявлялось локально вблизи этого отверстия. Затем мы имеем фазу, наведенную на волновой функции, которая проходит через солоноид

$$\psi \rightarrow e^{i\frac{e}{\hbar}\oint\vec A\cdot d{\vec x}}\psi.$$ Это эффект Ахаранова-Бома. Если мы хотим исключить солоноид, мы должны дополнительно исключить фазу, чтобы $\frac{e}{\hbar}\oint\vec A\cdot d{\vec x} = 2\pi N$, для $N \in \mathbb Z$. Правило Стокса означает $$\frac{e}{\hbar}\oint\vec A\cdot d{\vec x} = \frac{e}{\hbar}\int\int\nabla\times \vec A\cdot d{\vec a} = 2\pi N.$$ Это интегрирование магнитного поля представляет собой магнитный заряд $g = \int\int\vec B\cdot d\vec x$что дает соотношение Бора-Зоммерфельда $eg = 2\pi N\hbar$представлен Олив и Монтенен.

Это результат с голономией или фазой из-за связи датчика или потока поля через петлю или область, окруженную этим. Обобщение на пространства Тауба-NUT касается потока через Dp-браны и двойственности с гравимагнитным зарядом или параметром NUT. Гомологические циклы определяют АВ-фазу, имеющую дискретную структуру. Я думаю, это отражено на странице 172 книги с$A_{k-1}$особенности на$\mathbb C^2/\mathbb Z_k$с$(z_1, z_2)\rightarrow (e^{2\pi i/k}z_1, e^{2\pi i/k}z_2)$которые$SU(2)$и$\frac{1}{2}$суперсимметричный.

Это только частично решает эту проблему, и мне в основном интересно посмотреть, какие другие действия происходят с этим интересным вопросом.