Может ли физический объект иметь иррациональную длину?

Множество иррациональных чисел плотно заполняет числовую строку. Даже если предположить, что квантовая механика не опровергает посылку вашего вопроса, вероятность того, что вы случайно выберете иррациональное число из множества всех чисел, примерно равна$1 - \frac{1}{\infty} \approx 1$.

Таким образом, вопрос должен звучать так: «Возможно ли иметь объект рациональной длины?

Может ли физический объект иметь иррациональную длину?

Это немного философский вопрос, но можно сказать так:

Ради интереса предположим, что у вас есть идеальный прямоугольный треугольный кусок металла с углом в 45 градусов, основание и высота которого рациональны. Тогда его гипотенуза иррациональна, потому что ее длина равна основанию, умноженному на$\sqrt{2}$.

Таким образом , возможно иметь физический объект иррациональной длины, ЕСЛИ вы можете иметь физический объект рациональной длины.

ДОБАВЛЕНО: Предположим, вы вырезаете прямоугольный треугольник с углом 45 градусов из материала, основанного на квадратной атомной решетке, так что основание и высота состоят из$N$атомы, разделенные$d$. Тогда гипотенуза состоит из$N$атомы, разделенные$\sqrt{2}\times d$, так что все равно не рационально.

Вместо этого предположим, что материал основан на гексагональной решетке. Тогда все межатомные расстояния будут$d$, но из него невозможно вырезать идеальный треугольник с углом 45 градусов. На самом деле единственный треугольник с рациональными сторонами, который можно было бы вырезать, был бы равносторонним.

Предположим, ваш бесконечно точный штангенциркуль дает ответ$2.00000000000000\dots$Откуда ты знаешь, что это$2$точно, или если где-то после триллионного десятичного знака оно начинает отклоняться от$2$? Как бы вы прочли свой бесконечно точный штангенциркуль?

физические объекты не имеют четко определенной длины (существует такая вещь, как квантовая механика, полностью основанная на этой концепции). Более интересен вопрос, могут ли безразмерные числа в физике быть иррациональными, например, отношение между массами электрона и протона.

Теоретически нам понадобится численное расширение и некоторый ограничивающий аргумент, чтобы сказать, к какой области реальностей принадлежит предел (иррациональной, трансцендентальной, рациональной). Экспериментально это никогда нельзя утверждать, поскольку, естественно, все экспериментальные числа известны с точностью до конечного числа цифр.

Можно привести аргумент, основанный на теории меры и тому подобном, но нельзя забывать, что физика занимается измерением . Вопрос о том, может ли длина быть рациональной или иррациональной, потребовал бы бесконечно точного измерения, что невозможно (измерения несут ошибку). Следовательно, на этот вопрос нельзя ответить с точки зрения физики. Любой ответ будет просто предположением.

Если мы предположим, что Вселенная непрерывна, и, скажем, зафиксируем все в определенных временных рамках. Тогда все имеет иррациональную длину, независимо от того, насколько хорошо мы можем ее измерить. Просто потому, что мы можем определить единицу измерения, результат которой будет иррациональным.

Например, измерьте мою ногу. Теперь определите единицу измерения$1\ \small\bf Karf$быть квадратным корнем из удвоенной длины. Тогда моя нога была бы точно$\sqrt\frac12\ \small\bf Karf$длинный. Как мы знаем$\sqrt\frac12$иррационально.

Но для этого требуется допущение, что Вселенная непрерывна и что мы можем заморозить время и измерить его с бесконечной точностью. Если Вселенная дискретна или если мы не можем точно измерить, то мы не можем сказать слишком много. Не говоря уже о том, что все постоянно меняется (отпадают клетки, высвобождаются атомы и т. д. и т. д.), поэтому нет постоянной длины чего-либо достаточно большого.

Возьмем наименьший возможный случай такого треугольника. Он будет состоять из трех атомов одинакового размера, соединенных вместе в форме буквы L с углом между ними 90°.

Если у вас есть такое расположение, и что-то подобное может быть химически возможно, центры масс двух более удаленных атомов будут разнесены [точно] [1]$\sqrt{2}\times$расстояние между непосредственно соприкасающимися.

Предположительно, если подойти более строго и аккуратно, если посмотреть на связующую структуру воды (в которой, конечно, не будет прямого угла, но ситуация эквивалентна), центры масс двух атомов водорода также было бы иррациональным расстоянием кроме сравнения расстояний центров масс каждого Водорода до Кислорода. Какой бы масштаб вы ни использовали, хотя бы одно из двух расстояний всегда будет иррациональным.

Если вы можете каким-то образом ограничить набор всех возможных расстояний счетной бесконечностью, я подозреваю, что это набор не рациональных, а скорее алгебраических чисел . (или, по крайней мере, подмножество из них, которые являются положительными)

[1]: по модулю Гейзенберга, но я также не использовал правильные орбитали. Давайте, ради аргумента, определим расстояние на квантовом уровне расстояниями ожидаемых значений соответствующих облаков вероятностей.

Если вы говорите о реальных, физических объектах, то ваш вопрос полностью рушится, потому что такие объекты состоят из частиц, у которых нет определенных положений и импульсов согласно принципу неопределенности Гейзенберга.

Итак, давайте придерживаться классической механики, тогда ваш штангенциркуль может возвращать иррациональные числа.

Но математический отрезок даже не обязательно должен иметь рациональную или иррациональную длину, он может иметь и более «тонкий» масштаб, так называемое нестандартное число.

С точки зрения теории меры вероятность измерения рациональной длины фактически равна нулю.

Рассмотрим без ограничения общности интервал$[0,1]$. Используя стандартную меру Лебега, мера этого множества (его длина) равна 1. Если мы рассмотрим подмножество, состоящее из всех рациональных чисел из этого множества, его мера на самом деле равна 0. Это становится понятным, если учесть, насколько крошечным размер рациональных чисел сравнивается со всеми другими действительными числами. Фактически оказывается, что единственные подмножества нашего интервала с ненулевой мерой являются непрерывными (например,$[a, b]$, куда$a<b$и мера$b-a$) и те, которые содержат так называемые нормальные числа. Говорят, что только нормальные числа «занимают любое место» в строке действительных чисел. То есть практически все действительные числа на самом деле являются нормальными числами (которые никогда не могут быть записаны на бумаге), поэтому вероятность измерения чего-либо, что не является нормальным числом, равна 0.

http://en.wikipedia.org/wiki/Обычный_номер

Я думаю, что, поскольку у вас есть измерения, которые являются действительными числами, не изоморфными натуральным числам или счетно бесконечными, вы сначала предположили, что Вселенная бесконечно плотна. Следовательно, любое измерение, упомянутое в некоторых других ответах, справедливо должно иметь бесконечное количество десятичных знаков.

Это видно из того, что множество действительных чисел можно рассматривать как множество бесконечных последовательностей целых чисел. Поскольку измерения положительны, любое измерение можно представить в виде$r = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{10^i}$такой, что$a_0 \in \Bbb N$и для$i>0; a_i \le 9$. Затем$r$определяется как предел, как$i$к$\infty$.

Короче говоря, вы можете видеть, что иррациональные измерения просто соответствуют определенным типам последовательностей выше, где они не повторяются.

Вместо того, чтобы идти дальше в определении целочисленных последовательностей, я хотел бы рассмотреть и другие понятия. Возможные измерения не поддаются исчислению!

Имейте в виду, что хотя традиционно математика, используемая в физике, определяется над действительными или комплексными числами, они обычно соответствуют множествам, изоморфным целым числам или которые являются счетными в реальных вычислениях.

Кажется, что математика рассматривает область возможного (где некоторые вещественные числа даже не поддаются определению), я не знаю, соответствует ли она составным частям вселенной.

Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом 1 иррациональна.

В качестве альтернативы рассмотрим пирамиду. Когда вы измеряете «длину основания» по направлению к вершине, вы получаете непрерывные наборы значений. Один из них должен быть иррациональным.

Конечно, вы можете затем начать спор о том, что такое «физический» объект, и является ли длина действительно непрерывной, или она должна быть дискретной, поскольку состоит из атомов.

Во-первых, не имеет смысла присваивать абсолютные числа таким физическим величинам, как длина и объем. Число может быть разным по отношению к разным «единицам» измерения.

Но можно еще усомниться в соотношении двух длин, в данном случае:

В соответствии с пределом энтропии Бекенштейна (информация), я думаю, должен быть какой-то максимальный уровень точности.

Если стержень имеет иррациональное отношение длины, то он требует бесконечного количества информации (запишите длину в двоичном формате, подобно этой последовательности 11010100001000....).

Поскольку иррациональные числа не имеют никакого шаблона (повторение конечной последовательности), я думаю, что невозможно сохранить всю эту информацию в мире квантовой механики.

Более того, можно быть еще более критичным и принять существование отношений длин только с конечным кодом (а не с конечным повторяющимся шаблоном)! так что можно отрицать даже стержень с нецелым отношением длин рациональных чисел.

Это похоже на появление целых чисел (квантов) в квантовой механике!

Исходя из общих результатов петлевой квантовой гравитации, ведущего претендента на квантовую гравитацию, ожидается, что существует минимальная разрешимая длина порядка планковской длины.

Поскольку иррациональные числа должны иметь бесконечную точность, это означает, что мы должны исключить объекты иррациональной длины. На самом деле мы также должны исключать объекты рациональной длины, поскольку для проверки того, что они имеют рациональную длину, требуется бесконечная точность.

Оказывается, континуальная структура физической геометрии куда интереснее, чем реальная линия...