Нарушение киральной симметрии и путаница с терминологией

Вопрос 1

Прежде всего, когда вы обсуждаете спонтанное нарушение киральной симметрии, вам нужно исходить из чистой теории КХД.

лагранжиан КХД с$u-,d-,s-$кварки (имеют относительно небольшие массы по сравнению с$b, t, c$-кварков) имеет вид

$$\tag 1 L_{QCD} = \bar{q}_{i}i\gamma_{\mu}D^{\mu}_{ij}q_{j} - \frac{1}{4}G_{\mu \nu}^{a}G^{\mu \nu}_{a} - \bar{q}_{ij}M^{ij}q_{j}$$ В пределе высоких энергий, когда мы можем пренебречь массовым членом по сравнению с кинетическим членом, $(1)$инвариантен относительно комбинированного векторно-аксиального $SU_{V}(3)\times SU_{A}(3)$ глобальная трансформация , именно $$q \to e^{iq_{V}t_{a}\epsilon_{a} + iq_{A}t_{a}\theta_{a}}q,$$ где $t_{a}$является $3\times 3$Матрицы Гелл-Манна. Здесь я не учитываю нарушенные КХД векторно-аксиальные аномалии $U(1)$часть восстановленной симметрии.

Вводя проекторы лево-правой киральности, мы можем утверждать, что

$$\tag 2 SU_{V}(3)\times SU_{A}(3)\sim SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$$ Подводя итог, у нас есть важное заявление о том, что $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$становится точной симметрией при высоких энергиях. $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$группа называется киральной группой симметрии лагранжиана КХД.

Это утверждение подразумевает существование дополнительных физических состояний, которые имеют те же значения спина, странности и барионного числа, что и экспериментально наблюдаемые, но с противоположной четностью. Так как мы не видим этих состояний, но ниже энергетической шкалы$E\sim \Lambda_{QCD} \sim 0.1 \text{ GeV}$мы видим приблизительно безмассовые мезонные состояния, мы должны потребовать, чтобы$SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$симметрия спонтанно нарушается в КХД сама по себе вплоть до$SU_{\text{diag}}(3)$на весах$\sim \Lambda_{QCD}$. Он нарушается кварковой билинейной формой VEV, а именно$\langle |\bar{u}u|\rangle \sim \Lambda_{QCD}^3$. В результате имеем октет псевдоголдстоуновских бозонов -$\pi^{0, \pm}, \eta^{0} , K^{0}, \bar{K}^{0, \pm}$.

Предположим, теперь мы пренебрегаем$s-$вклад кварков в такую ​​картину. Потом занимаемся SSB$SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$вплоть до$SU_{\text{diag}}(2)$.$SU_{\text{diag}}(2)$в данном случае это группа изоспинового превращения . Однако это не точно, так как массы$u-,d-$кварки не то же самое: например, это приводит к чистой реакции КХД

$$d + d \to He^{4} + \pi^{0}$$ который не сохраняет изоспин.

Вопросы 2 и 3

Кирарная симметрия КХД в принципе не имеет ничего общего с электрослабой симметрией. Во-первых, киральная группа симметрии КХД — это глобальная симметрия преобразования триплетов кварков, левая и правая, а электрослабая группа симметрии — комбинированная локальная.$SU(2)$преобразования слабых дублетов левых кварков и их локальных$U_{Y}(1)$трансформация:

$$\begin{pmatrix} u \\ d\end{pmatrix} \to e^{i\frac{1-\gamma_{5}}{2}Q_{L}\sigma_{a}\epsilon_{a}(x) + iQ_{Y}\theta (x)}\begin{pmatrix} u \\ d\end{pmatrix}$$ Электрослабая симметрия обладает взаимодействиями, в то время как киральная симметрия КХД просто констатирует глобальное сохранение киральных зарядов (т. е. отсутствие связанного взаимодействия). Но если мы включим электрослабую симметрию в $(1)$, то даже если полностью пренебречь массами кварков, киральная симметрия становится явно (на уровне действия), а не спонтанно (на уровне состояний, описываемых действием) нарушенной из-за киральности электрослабой группы. Например, электромагнитное нарушение изоспиновой симметрии, которое нарушает $SU(2)$изоспиновой симметрии вплоть до преобразования симметрии, порожденного $\sigma_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$, вносит вклад в массы $\pi^{\pm}$мезонов, так что они становятся отличными от массы $\pi^{0}$мезона, тогда как КХД предсказывает именно точное равенство этих масс.

Затем симметрия электрослабой группы также спонтанно нарушается в масштабе$\approx 240\text{ GeV}$, а именно

$$SU_{L}(2)\times U_{Y}(1) \to U_{EM}(1),$$ по ВЭВ дублета поля Хиггса $\langle|H |\rangle \sim v$. Весы $\Lambda_{QCD}, v$различны и в целом имеют различную природу.

Наконец, тот факт, что остались только заряженные токи (т.е.$\bar{u}\gamma_{\mu}\left(\frac{1- \gamma_{5}}{2}\right)d$) взаимодействует с электрослабым сектором, исходит из эксперимента. Ваше утверждение, что электрослабо взаимодействуют только левые фермионы, неверно, поскольку все электрически заряженные правые частицы взаимодействуют с ЭМ полем так же, как и левые, а все правые частицы взаимодействуют с$Z-$бозон тоже.

1. Нет необходимости начинать с$SU(2)$симметрии, а затем распространить ее на$SU(2)_L\otimes SU(2)_R$. На самом деле, в тот момент, когда вы записываете лагранжиан, симметрия по умолчанию$U(2)_L\otimes U(2)_R$с$U(2)_L$действующий на дублет левого кварка$(u , d)_L$и$U(2)_R$действующий на правый кварковый дублет$(u , d)_R$, который можно распространить на$SU(2)_L\otimes SU(2)_R \otimes U(1)_L \otimes U(1)_R$. Это связано с тем, что левое и правое преобразования на соответствующих дублетах независимо оставляют лагранжев инвариант, поскольку массовый член был доведен до нуля. Дублеты кварков взяты потому, что фундаментальное представление$SU(2)$действует на дублеты, тогда как$U(1)$симметрия может быть обеспечена простым фазовым фактором. Так$SU(2)_L\otimes SU(2)_R$это встроенная функция, а не принудительная.

Киральная симметрия называется инвариантностью относительно четности. Здесь лагранжиан инвариантен по четности, поэтому он имеет киральную симметрию.

2. Считается, что электрослабая симметрия здесь уже нарушена, хотя в данном контексте это не так важно. Массы верхнего и нижнего кварков имеют порядок$2-4$МэВ, и им можно смело пренебречь, и, следовательно, можно предположить киральную симметрию лагранжиана. Для энергетического масштаба рассматриваемых нами явлений можно даже установить$s$массу кварка до нуля, и получить группу симметрии, чтобы$U(3)_L\otimes U(3)_R$но его не берут. В этом случае у нас было бы фундаментальное представление$SU(3)$матрицы, действующие на триплетах. В двух словах, поскольку это низкоэнергетический предел, поэтому нарушение электрослабой симметрии уже произошло на гораздо более высоком уровне порядка$250 GeV$, но массы кварков не так значительны, и поэтому они не имеют большого значения. Итак, это описание существует с учетом того, что EWSB уже состоялся.

3. Здесь$SU(2)_L$не относится к слабому взаимодействию, но симметрия возникает из-за структуры выбранного лагранжиана. Как уже было сказано, если взять$s$кварк, то вы получите инвариантность относительно$SU(3)_L$. Кроме того, здесь мы рассматриваем структуру сильных взаимодействий, и поэтому лагранжиан является инвариантным по четности, чего нельзя сказать о слабом взаимодействии. Вместе с тем сложение левого и правого дираковских токов этого лагранжиана дает барионное число и изоспиновые токи. Затем мы предполагаем, что аксиальные векторные токи спонтанно прерываются, что приводит к появлению голдстоуновских бозонов, т.е. пионов. Пионы должны быть безмассовыми, но мы можем утверждать, что, поскольку первоначальная предпосылка о безмассовости кварков была не совсем верной, следовательно, у них есть некоторая остаточная масса. Как видите, этот процесс отличается от электрослабого нарушения симметрии.

Итак, мы видим пионы в природе, которые являются продуктом нарушения киральной симметрии и отличаются от продукта нарушения электрослабой симметрии векторных бозонов, получающих массы от голдстоуновских мод. Обратите внимание, что EWSB использует скалярный потенциал, чтобы нарушить симметрию. Однако в вакууме КХД, поскольку кварки и антикварки имеют сильное притягивающее взаимодействие, энергетические затраты на создание пары кварк-антикварк очень малы. В результате вакуумное состояние с конденсатом кварковых пар характеризуется ненулевым средним значением, что сигнализирует о нарушении симметрии полной группы симметрии только до группы векторных симметрий, что приводит к нарушению симметрии изоспиновых токов. и сохранение барионного числа. Подробнее см. Пескин и Шредер в главе 19.