Неразличимые частицы, когда волновые функции не перекрываются

По симметрии ответ правильный, но я не думаю, что он отвечает на тот вопрос, на который вы обращаетесь.

Вы делаете очень распространенную концептуальную ошибку для студентов, впервые изучающих квантовую статистику, а именно, что квантовые частицы «должны» быть неразличимыми и что (анти)симметризация — это способ, которым они «удовлетворяют эту потребность». Но это не так — можно было бы, конечно, представить себе квантовую систему из множества частиц с совершенно одинаковой массой, зарядом, спином и т. д., но где частицы «различимы» в том смысле, что их совместная волновая функция не является ни симметричной, ни антисимметричной. при обмене частицами. Такие частицы не были бы ни бозонами, ни фермионами. (На самом деле физики конденсированного состояния делают это все время, когда рассматривают магнитные спиновые системы, и реже системы «анионов», которые не являются ни бозонными, ни фермионными.)

Так почему же вводные учебники по квантовой механике (почти) всегда рассматривают только бозонные или фермионные частицы? Потому что экспериментально показано, что каждая фундаментальная частица в Стандартной модели является либо бозоном, либо фермионом. Напомним, что с любой физической системой связано «гильбертово пространство», представляющее собой набор квантовых состояний, в которых физически возможно найти систему. Набор полностью симметричных волновых функций образует «бозонное гильбертово пространство», а набор полностью антисимметричных волновых функций образует «фермионное гильбертово пространство», и все известные виды элементарных частиц описываются тем или иным пространством. Но более общее гильбертово пространство определенно было бы логически и математически непротиворечивым.

(Когда вы будете изучать квантовую механику на более продвинутом уровне, вы узнаете, что существуют более глубокие причины, по которым бозонная и фермионная теории более «естественны». В этих двух особых случаях мы можем использовать очень элегантный математический формализм, называемый «вторичным квантованием». Это экономит нам много работы.Спиновые и анионные системы в некоторых отношениях более трудны для работы, чем системы бозонов и фермионов, потому что вы не можете использовать вторичное квантование - или иногда вы можете использовать его, но в гораздо, гораздо большей степени. более сложным путем, путем сопоставления системы с бозонной или фермионной «калибровочной теорией».

В любом случае, это многословный способ сказать, что все многоэлектронные волновые функции всегда антисимметричны, как бы далеко они ни находились. (Хотя оказывается, что вы не можете использовать эту антисимметризацию для передачи информации быстрее скорости света, поэтому специальная теория относительности безопасна.) Но вспомните, что в квантовой механике физически наблюдаемы только внутренние продукты, а не сами волновые функции. (На самом деле физически наблюдаем только квадрат нормы скалярных произведений.) Если частицы не имеют никакого пространственного перекрытия, то оказывается, что если мы хотим оценить$\langle \hat{X} \rangle$, мы получим один и тот же ответ независимо от того, используем ли мы правильную антисимметричную волновую функцию или гипотетическую несимметричную волновую функцию. Таким образом, несмотря на то, что несимметричная волновая функция даже не лежит в гильбертовом пространстве и не имеет никакого физического смысла, мы можем обойтись без нее, даже если она «неправильная». Попробуй это! Запишите две непересекающиеся волновые функции и вычислите$\langle \hat{X} \rangle$в отношении как антисимметричных, так и неантисимметричных состояний — вы получите один и тот же ответ в любом случае. Так что на самом деле, строго говоря, вам все еще «приходится» антисимметризовать, но вы можете избежать «обмана» и пренебрежения этим, если частица находится далеко и имеет незначительное пространственное перекрытие.

Наконец, вы можете задаться вопросом: «Если все известные фундаментальные частицы являются либо бозонами, либо фермионами, то почему физики, занимающиеся конденсированными состояниями, вообще рассматривают эти странные магнитные спиновые и анионные системы?» На самом деле ответ в этих двух случаях разный. Магнитные спиновые системы на самом деле являются электронными системами, в которых волновая функция каждого электрона падает так быстро, что мы можем рассматривать их как «далекие», даже если они разделены только межатомным расстоянием! Таким образом, мы можем игнорировать антисимметризацию, даже если она «действительно» существует. Анионы еще более странны и вообще не соответствуют каким-либо отдельным фундаментальным частицам — это «коллективные возбуждения», которые возникают только тогда, когда вы берете огромное количество электронов и соединяете их вместе особым образом.

Полная волновая функция пары электронов всегда должна быть антисимметричной. Таким образом, общая волновая функция имеет вид.

$$|\Psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|\sigma_1\phi_1\rangle|\sigma_2\phi_2\rangle - |\sigma_2\phi_2\rangle|\sigma_1\phi_1\rangle\right)$$ Если пространственные волновые функции двух электронов идентичны, т. е. два электрона находятся в одном и том же «пространственном состоянии», то пространственная волновая функция должна быть симметричной, и поэтому для того, чтобы общая волновая функция была антисимметричной, спиновая часть волновой функции должна быть антисимметричным. $$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle - |-+\rangle\right)|\phi_1\,\phi_1\rangle$$

Однако, если пространственные волновые функции не идентичны , то пространственная часть волновой функции может быть либо симметричной, либо антисимметричной, и поэтому спиновая волновая функция может быть соответственно антисимметричной или симметричной.

$$\begin{align} |\Psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|+-\rangle - |-+\rangle\right)\left(|\phi_1\,\phi_2\rangle + |\phi_2\,\phi_1\rangle\right)\\ |\Psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|\sigma_1\sigma_2\rangle + |\sigma_2\sigma_1\rangle\right)\left(|\phi_1\,\phi_2\rangle - |\phi_2\,\phi_1\rangle\right) \end{align}$$ где $\sigma_1$и $\sigma_2$может быть $+$или $-$. Перекрытие волновых функций не имеет значения. В этом отношении волновые функции обычно экспоненциально затухают на больших расстояниях, поэтому перекрытие никогда не бывает полным. $0$. Точка, в которой интегралы перекрытия действительно вступают в игру, - это когда существует взаимодействие между электронами, поэтому существует энергия, связанная с тем, что электроны находятся близко друг к другу, которая обычно будет выше, если электроны находятся в одном и том же состоянии, что приводит к симметричному пространственному Конфигурация конфигурации либо предпочтительна, либо ее избегают.