Почему замена базисных векторов bra и ket представлениями строк и столбцов дает неправильное матричное представление в неортогональном базисе?

Если$|\phi⟩$и$|\psi⟩$линейно независимы, то их всегда можно поставить в соответствие векторам-столбцам

$$|\phi⟩\mapsto\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \text{ and } |\psi⟩\mapsto\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},$$ но если они не ортогональны, вам, очевидно, придется больше работать над представлением внутреннего продукта в этой основе.

Самый простой способ сделать это — вернуться к мыслям о бюстгальтерах.$⟨\phi|$и$⟨\psi|$как двойственное основание для двойственного пространства$\mathcal H$. Таким образом, они являются линейными функционалами над$\mathbb C^2$, представленный векторами-строками

$$⟨\phi|\mapsto\left(a\,\,\,b\right) \text{ and } ⟨\psi|\mapsto\left(c\,\,\,d\right).$$ Коэффициенты в этих ковекторах фиксируются требованием, чтобы $⟨\phi|$и $⟨\psi|$воспроизвести старый скалярный продукт: $$\begin{align} \left(a\,\,\,b\right)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}&=1,\quad& \left(a\,\,\,b\right)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}&=⟨\phi|\psi⟩, \\ \left(c\,\,\,d\right)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}&=⟨\psi|\phi⟩,\quad& \left(c\,\,\,d\right)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}&=1. \end{align}$$ Это фиксирует представление как $$⟨\phi|\mapsto\left(1\,\,\,⟨\phi|\psi⟩\right) \text{ and } ⟨\psi|\mapsto\left(⟨\psi|\phi⟩\,\,\,1\right).$$

Сделав это, вы получите правильное представление для$H$:

$$H=|\phi⟩⟨\phi|+|\psi⟩⟨\psi|= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\left(1\,\,\,⟨\phi|\psi⟩\right) + \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\left(⟨\psi|\phi⟩\,\,\,1\right) = \begin{pmatrix} 1 & \langle \phi|\psi \rangle \\ \langle \psi|\phi \rangle & 1 \end{pmatrix}.$$