Теория струн - OPE и первичные операторы

Question

Теория струн - OPE и первичные операторы

Физика
операторы
струнная теория
конформная теория поля

Якуб Конечны

Во-первых, оговорка: я новичок в Physics SE, и я прежде всего математик, а не физик. Заранее извиняюсь за возможно некачественный вопрос, любой и благодарю за терпение.

В настоящее время я пытаюсь понять некоторые основы теории струн, основанные на сценарии Д. Тонга, доступном по адресу: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html . Я сильно запутался в OPE и некоторых связанных с этим вопросах. (Для определения см. упомянутый сценарий, страницы 69 и далее; я недостаточно знаю, чтобы знать, что здесь упоминать). Я так понимаю, что ряд "операторов" $O(z)$ предполагается "вставлять" в разных точках $z$ комплексной плоскости, и лежащая в основе физика каким-то образом должна быть закодирована в сингулярных частях выражений $O_1(z) O_2(w)$ с $w \simeq z$ . Мне не совсем понятно, как может быть, что единичные части каким-то образом кажутся единственными, что имеет значение, но это, наверное, слишком философски.

Я хотел бы получить некоторое объяснение так называемых первичных операторов (стр. 76).

Во-первых, какая интуиция стоит за этим? Есть ли какая-то физическая сущность, которую они представляют?

В определении сказано, что $O(z)$ является первичным , если оно имеет ОР с тензором напряжений $T(z)$ формы:

Т (г) О (ж) "=" \frac{час}{(г - ж)^{2}} О (ж) + \frac{\partial О (ж)}{г - ж} + \dots

$T(z)O(w) ~=~ \frac{h}{(z-w)^2}O(w) + \frac{\partial O(w)}{z-w}+\ldots$

В то же время в нем говорится, что это просто говорит о том, что ОРЕ заканчивается на втором порядке, поэтому это будет звучать так, как будто всегда имеет место то, что если ОРЕ заканчивается на втором порядке, ОРЕ имеет эту конкретную форму. Так ли это? В частности, казалось бы, если $O_1(z)$ является первичным с $h_1$ и $O_2(z)$ является первичным с $h_2$ , затем $(O_1+O_2)(z)$ имеет полюс порядка не более $2$ , но не имеет ОПЕ такого вида (или я ошибаюсь?).

Виберт

Первичные операторы — это старшие векторы представлений конформной группы (с соответствующими весами). Так что на практике вам никогда не придется изучать непервичные операторы. Если

O_{1}

$O_1$ является первичным с весом

h_{1}

$h_1$ и

O_{2}

$O_2$ с

h_{2}

$h_2$ , затем

O_{1} + O_{2}

$O_1 + O_2$ не является основным оператором! Он неправильно преобразуется при конформных отображениях.

Обучение - это беспорядок

Нас интересуют только сингулярные члены, поскольку такого рода выражения обычно появляются в петлевых интегралах (как только двумерное пространство-время отображается на цилиндр, интегралы по пространственному срезу становятся контурными интегралами в комплексном плане, поэтому основное внимание уделяется сингулярным вкладам) . Плюс ОРЕ основано на алгебраической структуре (бесконечного числа) операторов в теории, Д. Тонг говорит об этом несколько слов в тех же примечаниях. И как объяснил Виберт

O_{1} + 0_{2}

$O_1 + 0_2$ является основным оператором только для

h_{1} = h_{2}

$h_1=h_2$ давая вам хорошо определенный OPE;)

Ответы (1)

Теория струн - OPE и первичные операторы

Первичные операторы — это старшие векторы представлений конформной группы (с соответствующими весами). Так что на практике вам никогда не придется изучать непервичные операторы. Если $O_1$ является первичным с весом $h_1$ и $O_2$ с $h_2$ , затем $O_1 + O_2$ не является основным оператором! Он неправильно преобразуется при конформных отображениях.
Нас интересуют только сингулярные члены, поскольку такого рода выражения обычно появляются в петлевых интегралах (как только двумерное пространство-время отображается на цилиндр, интегралы по пространственному срезу становятся контурными интегралами в комплексном плане, поэтому основное внимание уделяется сингулярным вкладам) . Плюс ОРЕ основано на алгебраической структуре (бесконечного числа) операторов в теории, Д. Тонг говорит об этом несколько слов в тех же примечаниях. И как объяснил Виберт $O_1 + 0_2$ является основным оператором только для $h_1=h_2$ давая вам хорошо определенный OPE;)

Любош Мотл · Answer 1

Если вы считаете $T(z)O(0)$ OPE, вы хотите записать все термины в единственном числе. Во-первых, могут быть сингулярные термины, более сингулярные, чем $1/z^2$ . Если они есть, значит, $O(0)$ не является «тензорным полем». Например, $T(z)$ само по себе не является тензорным полем в КТП с $c\neq 0$ потому что есть $c/z^4$ срок в ОПЕ.

Однако, даже если $O(0)$ является тензорным полем и $1/z^2$ и $1/z$ единственные, которые появляются в OPE, это не значит, что $O(0)$ является первичным оператором. Вполне вероятно, что не один. Что требует первичный оператор Ansatz, чтобы термин выглядел как $1/z^2$ является кратным исходному оператору $O(0)$ , тот самый!

Таким образом, первичный оператор в некотором смысле является «собственным состоянием» тензора энергии-импульса. Большинство общих суперпозиций первичных операторов не будут первичными операторами. Если вы переведете первичный оператор в состояние в гильбертовом пространстве с помощью соответствия оператора состояния, это будет собственное состояние оператора. $L_0$ и наивысший вектор состояния (вектор в представлении алгебры Вирасоро с минимально возможным собственным значением $L_0$ среди векторов в представлении). Отсутствие $1/z^3$ и более высокие сингулярности эквивалентны уничтожению соответствующего состояния $L_n$ для положительных значений $n$ ; а затем есть дополнительное условие «собственное состояние» при $L_0$ , который можно увидеть в коэффициенте $1/z^2$ срок ОПО.

В каком-то смысле неестественно комбинировать первичные операторы с разными размерностями. $h$ в суперпозиции: это нарушает «анализ размерностей», потому что эти операторы имеют единицы ${\rm mass}^h$ .

Итак, что произойдет, если я возьму $O(0)$ быть $X^\mu(0)$ . Согласно книге Полчински, OPE $T(z)X^\mu(0)$ является $\frac{\partial X(0)}{z}$ . Почему нет $1/z^2$ срок? Или в обозначениях выше $O(w)$ ?
Уважаемый @Afriendlyhelper, "есть" $1/z^2$ но его коэффициент равен нулю, что означает, что формальная размерность $X^\mu(0)$ является $h=0$ . Однако это не полноценный тензорный оператор нулевой размерности, потому что $X(z)X(0)\sim\ln|z|^2$ который не является степенным законом в $z$ .
Спасибо за Ваш ответ. Мне просто интересно, потому что Полчински просто констатирует $T(z)X^\mu(0)$ без дальнейших объяснений в главе 2. Итак, есть небольшой аргумент (также известный как h = 0), чтобы действительно увидеть ОРЕ, не так ли? В любом случае спасибо!
Дорогой Люмо, знаете ли вы более короткое, чем целая толстая книга, мягкое введение в CFT, где эти и связанные с ними вопросы объясняются немного более подробно, чем то, что объясняет Дэвид МакМохан в главе 5 демистифицированной книги ST? Я хотел бы копнуть немного глубже в CFT, но если бы я попытался попросить о мягком введении здесь, модератор немедленно закрыл бы это, как только заметил это, поэтому я могу только спросить вас в комментарии :-/

Теория струн - OPE и первичные операторы

Якуб Конечны

Виберт

Обучение - это беспорядок

Ответы (1)

Любош Мотл

Дружелюбный помощник

Любош Мотл

Дружелюбный помощник

Дилатон

Определите коэффициенты расширения продукта оператора (OPE)

Является ли соответствие оператора-состояния аксиомой или теоремой?

Вик-порядок и радиальный порядок в CFT

Нормальный порядок в свободном бозонном вершинном операторе

Вирасоро TT OPE (2.2.11) в книге Полчински

Теорема Вика, упорядочение и CFT

Упорядоченная по времени производная и равновременный коммутатор

Коммутационные соотношения операторов Вирасоро [закрыто]

Тензор энергии-импульса оператора расширения произведения

Двойные сокращения OPE между TTT и eikXeikXe^{ikX}