Каков диапазон действия принципа исключения Паули?

Согласно стандартной модели, все электроны (и все элементарные частицы) во Вселенной должны иметь совершенно одинаковые свойства. Это означает, что для электронов принцип запрета Паули гласит: «Никакие 2 электрона во Вселенной не могут занимать одно и то же состояние».

Но из-за формулировки вашего вопроса, я думаю, у вас также может быть неправильное представление о том, что именно представляет собой «то же самое состояние». Например, если у вас есть два атома водорода на расстоянии 1 км друг от друга, у обоих может быть электрон в «одной и той же»$1s$состояние. Это просто потому, что эти два состояния различны. Пока они оба$1s$состояний, они связаны с разными атомами.

В кристалле картина несколько иная, поскольку, строго говоря, собственные состояния — это блоховские состояния, делокализованные по всему кристаллу. Но для самых глубоких уровней (значительно ниже уровня проводимости) картина локализованных состояний, локализованных вокруг каждого атома, не так уж и плоха. В этом случае все атомы в кристалле обычно будут занимать эти состояния, но опять же это не противоречит принципу Паули, потому что состояния различимы из-за того, что они связаны с разными атомами.

В принципе, он охватывает все фермионы во Вселенной. Не бывает двух фермионов с одинаковыми квантовыми числами. В материале с большим количеством молей электронов каждый из них имеет разные значения энергетического уровня и т. д. Конечно, вы должны учитывать, например, что два электрона с одинаковыми n, l, m и числами вращения вращаются вокруг двух одинаковых ядер. . Однако у них разные квантовые числа, поскольку при заданной системе отсчета и описании системы каким-то довольно сложным квантовым вектором состояния они будут различаться по своим квантовым числам. То же самое относится и к более сложным системам. Итак, последний пример: фермионы в коллапсирующей звезде сопротивляются коллапсу из-за принципа запрета Паули, даже если они находятся в огромной системе с не очень четко определенным вектором квантового состояния.

Наиболее распространенный способ визуализации области действия принципа исключения приходит к нам из изучения сверхплотных объектов, таких как белые карлики и нейтронные звезды. В белом карлике гравитация сжимает материю так сильно, что волновые функции электронов в нем начинают перекрываться, и именно здесь вступает в силу принцип исключения, который борется с гравитацией, чтобы поддержать белого карлика и не дать ему исчезнуть. сжал больше. Этот эффект называется давлением вырождения , и его полное описание заняло бы несколько глав в учебнике по астрофизике.

Давление вырождения возникает только тогда, когда атомы сжимаются настолько сильно, что большая часть пустого пространства внутри атомов сжимается. Фактически это означает, что диапазон расстояний, в котором становится важным давление вырождения, намного меньше, чем размеры типичного атома в его несжатом состоянии.

Это зависит от системы, к которой принадлежат фермионы. Принцип исключения гласит, что никакие два фермиона не могут иметь одинаковое квантовое состояние. Квантовое состояние включает в себя систему, которой принадлежит фермион. Например, если вы смотрите на электроны в атомах, атом — это система, и принцип исключения применим только к электронам внутри конкретного атома. Если вы смотрите на ферми-газ, то диапазон — это объем газа. Если вы смотрите на белого карлика, то он размером с белого карлика.

В квантовой механике взаимодействия частиц могут быть двух типов: взаимодействия рассеяния и связанные состояния.

Какова сфера применения принципа исключения?

Принцип запрета Паули применяется к связанным состояниям электронов в решениях потенциальных уравнений для атомов/молекул/решеток. Это применимо к фермионам в целом, например, никакие два мюона не могут занимать один и тот же уровень энергии мюонного водорода .

Могут ли быть все электроны в атоме,

Все электроны атома должны занимать разные энергетические уровни. Энергетические уровни могут быть вырожденными, но они должны отличаться квантовым числом (например, ориентацией спина).

или это могут быть электроны во всем проводнике,

Электроны во всем проводнике очень слабо связаны, что означает, что уровни энергии, которые они занимают, очень близки к континууму, т. е. всегда будет доступный уровень энергии с различными квантовыми числами для занятия, это то, что позволяет иметь более общие квантово-механические модели твердого тела как зонная теория твердого тела .

или может быть больший диапазон?

Таким образом, диапазон имеет значение для принципа запрета Паули только тогда, когда речь идет о связанных состояниях , уровни энергии которых помечены квантовыми числами, доступными для заполнения.

Как вы упомянули, принцип исключения Паули гласит, что:

два одинаковых фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии

Из вашего вопроса трудно понять, насколько хорошо вы знаете квантовую механику, но состояние — это, по сути, все, что вы знаете для понимания системы. В одном представлении квантовой механики состояние представлено как комплексная числовая функция положения в пространстве, часто обозначаемая$\psi(x)$, с$x$иметь столько измерений, сколько необходимо для представления вашей системы.$x$поэтому может быть скаляром или вектором. Итак, почему у нас есть квантовые числа в атомах? Хитрость в том, что связанные частицы могут находиться только в определенных состояниях или линейных комбинациях этих состояний. То есть,$\psi(x)$не может быть произвольным для связанных частиц, он должен иметь очень конкретную форму. Это аналогично заявлению в классической механике, что частица обязана вращаться вокруг точки на плоскости. Из трехмерной задачи вы вернулись к одномерной. Разница в том, что теперь вы начинаете с несчетного набора (все$\psi(x)$) счетному или даже конечному множеству. Итак, вместо того, чтобы писать$\psi(x)$, мы записываем его как линейную комбинацию фундаментальных или чистых состояний, соответствующих квантовым числам, и мы обозначаем эти состояния тем, как мы их считаем, квантовыми числами, вместо того, чтобы нести с собой целые функции. Обратите внимание, что$\psi(x)$может быть более чем в 3 измерениях, если у вас есть более 1 частицы, так как тогда вам нужно более 3 чисел для представления вашей системы. Это как в классической механике: две частицы в одном измерении представлены их соответствующими позициями,$x_1$и$x_2$.

Учитывая все это, другие ответы дают очень хорошее представление о том, каков диапазон принципа исключения: он в принципе бесконечен. Обратите внимание, что если две частицы не находятся в одной и той же потенциальной яме, то волновая функция определяется квантовыми числами первой потенциальной ямы и квантовыми числами второй потенциальной ямы. Есть одни и те же «числа» с одинаковыми значениями, но математически они соответствуют разным волновым функциям, поскольку функции сосредоточены вокруг другого начала, поэтому вы можете иметь два атома гелия в основном состоянии рядом.

Более точная формулировка принципа запрета Паули состоит в том, что волновая функция, представляющая систему из более чем одной частицы, должна быть антисимметричной по отношению к обмену двумя частицами. То есть, если вы поменяете местами две частицы, волновая функция изменит знак. Поскольку фермионы определенного типа, такие как электроны, неотличимы друг от друга, если они имеют одинаковый спин, единственный способ, которым это может произойти для электронов в одной и той же потенциальной яме, — это если два электрона имеют разные спины. С таким же отжимом нужно$\psi(x) = -\psi(x)$, поэтому 0: нет электронов.

И последнее замечание: на практике, когда частицы взаимодействуют в широких потенциальных ямах, что соответствует вашему «диапазону», уровни энергии становятся очень близкими друг к другу при энергиях, соответствующих большой ширине ямы. Затем у вас может быть много частиц с «одинаковой» энергией при достаточно высоких энергиях, но энергия двух электронов все равно различается, если они имеют одинаковый спин. Просто немного отличается. Конечно, электроны с более низкой энергией (связанные ближе к центру потенциальной ямы) имеют энергии, отстоящие друг от друга на более крупные ступени. Чтобы увидеть влияние принципа запрета Паули при более высоких энергиях в таких системах, нужно иметь много электронов при этих энергиях.