Перенормировка, интегрирование больших импульсов способом Вильсона

Я нахожу все обозначения здесь немного запутанными, так как мы говорим о режимах импульса при использовании обозначения реального пространства (может быть, я единственный...). Чтобы прояснить, что происходит, мы можем вместо этого переключиться на импульсное пространство. Рассмотрим квадратичный член в экспоненте:

$$\begin{align} \int d^4x \phi ^2 & = \int d^4x \int d^4k d^4k' \phi _k \phi ^\ast _{ k ' } e ^{ i ( k - k ' ) x } \\ & = \int d^4k \phi _k \phi _k ^\ast \\ & = \int _0 ^{ b \Lambda } d^4k \phi _k \phi _{ k} ^\ast + \int _{ b \Lambda } ^{ \Lambda } d^4k \phi _k \phi _k ^\ast \end{align}$$ Теперь мы можем четко сделать разделение, которое хотят сделать авторы, $$\begin{equation} = \int _0 ^\Lambda ( \phi _k \phi _k ^\ast + \hat{\phi} _k \hat{\phi} _k ^\ast ) \end{equation}$$ Обратите внимание, что перекрестный член выпал из выражения.

Теперь, чтобы понять, почему это не так для члена четвертой степени, просто повторите описанную выше процедуру. Я нахожу,

$$\begin{equation} \int d^4x \phi ^4 = \int _0 ^{ b \Lambda } d^4k _1 d^4k _2 d^4k _3 \phi _1 \phi _2 \phi _3 \phi _{ 1 + 2 + 3} + \int _{b \Lambda } ^{ \Lambda } d^4k _1 d^4k _2 d^4k _3 \phi _1 \phi _2 \phi _3 \phi _{ 1 + 2 + 3} \end{equation}$$ Проблема в том, что мы не можем просто снова разделить интегралы, так как мы можем "выбрать диапазон" $\phi _1 ,\phi _2 ,$и $\phi _3$диапазон $\phi _{ 1+2+ 3}$не определено. Мы можем, например, иметь $k _1 = b\Lambda / 2 , k _2 = b\Lambda / 2 , k _3 = b \Lambda /2$но $k _{1+2+3} = 3 b \Lambda /2$. Поэтому мы не можем отбрасывать перекрестные члены для любого взаимодействия четвертой степени.

Примечание: я был небрежен здесь о конъюгатах, но я уверен, что вы поняли идею.

Я не точен, но морально:

Представьте, что вы интегрируете все моды выше частоты$b\Lambda$. Учитывать$\omega < b\Lambda < 3 \omega$.

Режим$\phi$с частотой$\omega$в кубе будет иметь некоторую часть его как моду частоты$3 \omega$, с:$\sin (3x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^3 (x)$. (Легче увидеть, что${(e^{i \omega t})}^3 = e^{i 3 \omega t}$). Так$\phi^3$может содержать частоты выше «отсечки Вильсона»$b \Lambda$поэтому нужно быть осторожным с его внутренним продуктом с$\hat{\phi}$(помните, у вас все еще есть$\int d^d k$) -- это не будет тождественно нулю -- так что вы не можете отбросить эти термины.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: Ах, теперь я понимаю, что моя запись может сбивать с толку. Я прошу прощения. У @JeffDror есть хороший ответ.

В сущности, помните, что эти термины все еще интегрируются по некоторым наборам импульсов. Джефф ясно показал, как сохранение импульса (что дает общую$\delta$-функция для интегрируемых импульсов) показывает, что$\phi \hat{\phi}$исчезнет, ​​в то время как вы не можете сказать то же самое для более высоких импульсов.

Что касается обобщения моего аргумента, заметьте, что

$$\int d^d x \phi(x) \phi(x) \longrightarrow \int d^d k_1 d^d k_2 \phi(k_1) \phi(k_2) \delta(k_1 + k_2) = \int d^d k \phi(k) \phi(-k)$$ ( $-k$происходит из-за сохранения импульса.)

Когда вы рассматриваете член более высокого порядка

$$\int d^d x \phi(x) \phi(x) \phi(x) \phi(x) \longrightarrow \\ \int \; d^d k_1 \, d^d k_2 \, d^d k_3 \, d^d k_4 \; \phi(k_1) \phi(k_2) \phi(k_3) \phi(k_4) \delta(k_1 + k_2 + k_3 + k_4) \\ \neq \int d^d k_1 d^d k_2 \phi^2(k_1) \phi^2(k_2) \delta(k_1 + k_2)$$

Последний член может быть равен нулю по рассуждениям, аналогичным приведенным выше. Но обратите внимание, что это не равно тому, с чего вы начали . Я надеюсь, что это рассеивает туман.