U (1) × U (1) U (1) × U (1) U (1) {\ times} U (1) производная локальной калибровочной инвариантности

В КЭД и базовом механизме Хиггса существует локальное калибровочное преобразование, при котором скалярное поле$\phi$преобразуется как:

$e^{i\theta\eta(x)} \phi$

Частная производная этого, однако, делает вышеизложенное неинвариантным, и поэтому ковариантная производная вводится таким образом:

$D_\mu e^{i\theta\eta(x)} \phi$"="$(\partial_\mu- i \theta A_\mu)$$e^{i\theta\eta(x)} \phi$

Таким образом, производная остается неизменной. Однако что, если скалярное поле преобразуется ДВУМЯ симметриями U(1) следующим образом:

$e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} \phi$

Это может быть странным преобразованием симметрии, но мне интересно, как можно сделать производную этого инварианта такой:

$e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} D_\mu \phi$

Ибо теперь производная состоит из трех разных функций, которые дифференцируются по правилу произведения следующим образом:

$f'(x)g(x)h(x)$+$g'(x)f(x)h(x)$+$h'(x)f(x)g(x)$

Таким образом, производная функции будет:

$i \lambda_1 \eta_1' (x)e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} \phi$+$i \lambda_2 \eta_2' (x)e^{i\lambda_2\eta_2(x)} e^{i\lambda_1\eta_1(x)} \phi$+$(\partial_\mu \phi) e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)}$

Итак, как в этой ситуации применить производную локальной калибровочной инвариантности? Будет ли введено другое калибровочное поле, такое как$B_\mu$вместе с$A_\mu$?