Почему для выражения вращения в 3-х измерениях требуются три параметра?

Мы знаем, что в сферических координатах угол θ и ф (двух углов) достаточно, чтобы выразить трехмерное вращение матрицы. Но чтобы математически выразить вращение как матрицу преобразования, нам нужны три угла. Но интуитивно я ожидаю только два параметра для матрицы вращения, основываясь на знании сферических координат. Что здесь не так?

Два угла представляют направление оси (в сферических координатах), вокруг которой должно быть выполнено вращение. Третий угол - это величина вращения.

Ответы (1)

Как указал Лемон, двух углов достаточно, чтобы указать направление в трехмерной системе координат, но еще один необходим, чтобы указать полное преобразование координат. Вы можете думать о преобразовании вращения в трех измерениях как о сопоставлении двух разных систем координат. Два угла необходимы для указания относительного направления между двумя осями z, но еще один необходим для указания относительного направления оси x. Без этого третьего угла оси x и y могли бы лежать где угодно в плоскости, перпендикулярной новой оси z.

Сколько параметров потребуется, чтобы полностью указать преобразование вращения в R^4?
Это случится н С 2 "=" 1 / 2 н ( н − 1 ) для р н ? так 6.Вы можете делать повороты на н С 2 самолеты в н -мерное пространство, совпадающее с числом образующих SO(n).
@FireLizzard: повороты — это ортогональные преобразования, то есть р ⋅ р Т "=" 1 . Это дает н ( н + 1 ) / 2 ограничивает н × н матрица, которая поэтому оставляет н 2 − н ( н + 1 ) / 2 свободные параметры. Для н "=" 4 один имеет 6 параметров. Возьмем, к примеру, однородную группу Лоренца, которая представляет собой не что иное, как обычное вращение в (псевдо)-евклидовом пространстве с 4 измерениями (3 параметра бустинга + 3 параметра пространственного вращения).
Другими словами, Н ( Н − 1 ) / 2 параметры необходимы для указания поворота в Н -мерное пространство. Единственный случай, когда это равно Н N=3. Как отмечалось выше, для описания вращения в четырехмерном пространстве необходимо шесть параметров. Также стоит отметить: для описания вращения в двухмерном пространстве нужен только один параметр.
Шикарное объяснение, спасибо!
Почему для выражения вращения в 3-х измерениях требуются три параметра?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v