Почему iℏ∂∂tiℏ∂∂ti\hbar\frac{\partial}{\partial t} нельзя считать оператором Гамильтона?

Question

Почему iℏ∂∂tiℏ∂∂ti\hbar\frac{\partial}{\partial t} нельзя считать оператором Гамильтона?

Рево

В зависящем от времени уравнении Шредингера $H\Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi,$ оператор Гамильтона определяется выражением

ЧАС знак равно - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \nabla^{2} + В .

$\displaystyle H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V.$

Почему мы не можем рассмотреть $\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ как оператор для гамильтониана? Мой ответ (в котором я не уверен) следующий:

$\displaystyle H\Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi$ не является уравнением для определения $H$ . Эта ситуация аналогична $\displaystyle F=ma$ . Второй закон Ньютона не является уравнением для определения $F$ ; $F$ должны быть предоставлены самостоятельно.

Верны ли мои рассуждения (и аналогия) или ответ глубже?

ФрэнкХ

Да вы правы. Физика находится в гамильтониане, а уравнение Шредингера описывает, как гамильтониан вызывает изменение волновой функции в зависимости от времени.

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com /q/15670/2451

гацу

Я думаю, что ваш последний комментарий точен, это то же самое, что и второй закон Ньютона; ни больше ни меньше.

Халкстер

Ну, если мы знаем

ψ

$\psi$ тогда можно было бы решить оператор

H .

$H.$ Я не знаю, возможно это или нет.

Ответы (15)

Почему iℏ∂∂tiℏ∂∂ti\hbar\frac{\partial}{\partial t} нельзя считать оператором Гамильтона?

Да вы правы. Физика находится в гамильтониане, а уравнение Шредингера описывает, как гамильтониан вызывает изменение волновой функции в зависимости от времени.
Связанный: физика.stackexchange.com /q/15670/2451
Я думаю, что ваш последний комментарий точен, это то же самое, что и второй закон Ньютона; ни больше ни меньше.
Ну, если мы знаем $\psi$ тогда можно было бы решить оператор $H.$ Я не знаю, возможно это или нет.

Qмеханик · Answer 1

Если априори ошибочно объявить, что оператор Гамильтона $\hat{H}$ производная по времени $i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$ , то уравнение Шредингера
$\begin{matrix} (1) & \hat{ЧАС} Ψ знак равно я ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial т} \end{matrix}$ $\hat{H}\Psi~=~i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}\tag{1}$ станет тавтологией. Такое тривиальное уравнение Шредингера нельзя было использовать для определения будущей (или прошлой) временной эволюции волновой функции. $\Psi({\bf r},t)$ .
Наоборот, оператор Гамильтона $\hat{H}$ обычно является функцией операторов $\hat{\bf r}$ а также $\hat{\bf p}$ , и уравнение Шредингера
$\begin{matrix} (2) & \hat{ЧАС} Ψ знак равно я ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial т} \end{matrix}$ $\hat{H}\Psi~=~i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}\tag{2}$ является нетривиальным требованием к волновой функции $\Psi({\bf r},t)$ .
Затем можно спросить, почему тогда можно назначать оператор импульса как градиент?
$\begin{matrix} (3) & {\hat{п}}_{к} знак равно \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial р^{к}} ? \end{matrix}$ $\hat{p}_k~=~ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial r^k}~?\tag{3}$ (Это известно как представление Шрёдингера.) Ответ дан из-за канонических коммутационных соотношений $\begin{matrix} (4) & [{\hat{р}}^{Дж}, {\hat{п}}_{к}] знак равно я ℏ {дельта}_{к}^{Дж} \hat{1} . \end{matrix}$ $[\hat{r}^j, \hat{p}_k]~=~i\hbar~\delta^j_k~\hat{\bf 1}.\tag{4}$
С другой стороны, соответствующее коммутационное соотношение для времени $t$ является
$\begin{matrix} (5) & [\hat{ЧАС}, т] знак равно 0, \end{matrix}$ $[\hat{H}, t]~=~0, \tag{5}$ потому что время $t$ является параметром , а не оператором в квантовой механике, см. также этот и этот посты Phys.SE. Обратите внимание, что в отличие $\begin{matrix} (6) & [я ℏ \frac{\partial}{\partial т}, т] знак равно я ℏ, \end{matrix}$ $\left[i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, ~t\right]~=~i\hbar,\tag{6}$ что также показывает, что не следует отождествлять $\hat{H}$ а также $i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}$ .

1. «Такое тривиальное уравнение Шредингера нельзя использовать для определения будущей (или прошлой) временной эволюции волновой функции Ψ(r,t)». Почему это? 2. Формально, если $\hat{H}$ не зависит от времени, мы знаем, что решение имеет вид $|\Psi \rangle(t) = U(t)|\Psi \rangle(0) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}| \Psi \rangle(0)$ . Конечно, чтобы быть применимым к данной системе, нужно предоставить модель для $\hat{H}$ но его форма будет зависеть от изучаемой системы, в то время как общее решение (для независимых от времени гамильтонианов) всегда будет иметь место.
1. Потому что $i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}=i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}$ является тавтологией. 2. Я согласен.
Если это действительно так, $[\hat H, t] = 0$ , тогда не будет ли принцип неопределенности энергия-время читать $\Delta E \Delta t \ge 0$ ?
Нет, время в энерго-времени ХУП тонкое, ср . например , этот пост Phys.SE.

Любош Мотл · Answer 2

Вы не можете «отменить» волновую функцию в уравнении Шредингера, потому что волновая функция является его основной переменной. Это уравнение для волновой функции.

Производную по времени нельзя считать оператором, потому что оператор по определению является четко определенной уникальной картой.

л : ЧАС \to ЧАС

$L:\,{\mathcal H}\to {\mathcal H}$ из гильбертова пространства в то же самое гильбертово пространство. Это карта: для каждого выбора вектора

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ , он должен сказать вам, что

L | ψ ⟩

$L|\psi\rangle$ . Линейные операторы однозначно определяются конкретной матрицей относительно конкретного базиса. Производная по времени ничего подобного. Это четко определено только тогда, когда вы говорите мне, что

| ψ (t) ⟩

$|\psi(t)\rangle$ заключается в следующем: ввод (информация, которую нужно знать) — это не просто вектор; она должна быть векторнозначной функцией времени.

Аналогии между Ньютоном нет. $F=ma$ и уравнение Шредингера, за исключением того, что оба они являются уравнениями. Лучшим квантовым аналогом уравнений Ньютона были бы уравнения Гейзенберга для операторов, а не уравнение Шрёдингера. Что ж, очень мягкая аналогия, которая, вероятно, существует в любом уравнении, заключается в том, что нужно иметь конкретную $x,p$ -зависимая формула для силы $F$ рассчитать конкретное $x(t)$ ; точно так же требуется особый выбор гамильтониана для вычисления $|\psi(t)\rangle$ . Но это верно для любого уравнения: все сокращения должны быть полностью объяснены, чтобы уравнение имело действительно четко определенный смысл и было конкретно применимо к конкретной системе.

14 оборотов, 2 пользователя 99%Andyk · Answer 3

Математически $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ является дифференциальным оператором. Давайте назовем это $\hat{E}$ :

\hat{Е} знак равно я ℏ \frac{\partial}{\partial т}

$\hat{E}:= i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$

Однако говоря, что $\hat{E}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ просто говорит, что $\hat{E}\psi\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ и это еще не уравнение (это тавтология, как указал Qmechanic). Из дифференциальных уравнений вы знаете, что, например, для $\hat{L}:= \frac{d}{dx}$ , $\hat{L}\psi(x)\equiv \frac{d\psi(x)}{dx}$ не является уравнением. Вместо, $\hat{L}\psi(x)=0=0\cdot \psi$ является уравнением и, конечно, это не означает, что $\frac{d}{dx}= 0$ . Или лучше возьмем лапаласиан в двух измерениях $\nabla^2\equiv\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ . Тогда уравнение Лапласа

\nabla^{2} ψ (Икс, у) \equiv \frac{\partial^{2} ψ (Икс, у)}{\partial {Икс}^{2}} + \frac{\partial^{2} ψ (Икс, у)}{\partial у^{2}} знак равно 0

$\nabla^2 \psi(x,y)\equiv\frac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial y^2}=0$

Вы можете переписать его как

\frac{\partial^{2} ψ (Икс, у)}{\partial {Икс}^{2}} знак равно - \frac{\partial^{2} ψ (Икс, у)}{\partial у^{2}}

$\frac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial y^2}$

Очевидно, это не значит, что $\frac{\partial^2}{\partial x^2}= -\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ , это означает, что действуя $\hat{L}_1:=\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ на $\psi$ дает вам ту же функцию, что и при воздействии на $\psi$ по $\hat{L}_2:=-\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ :

{\hat{л}}_{1} ψ (Икс, у) знак равно ф (Икс, у)

$\hat{L}_1\psi(x,y)=\phi(x,y)$

{\hat{л}}_{2} ψ (Икс, у) знак равно ф (Икс, у)

$\hat{L}_2\psi(x,y)=\phi(x,y)$

то есть $\hat{L}_1\equiv\hat{L}_2$ , но не вообще, а только на конкретном функциональном пространстве функций $\psi$ такой, что $\hat{L}_1\psi=\phi=\hat{L}_2\psi$ .

В случае уравнения Шредингера, зависящего от времени, мы имеем два оператора $\hat{E}$ а также $\hat{H}$ (в качестве $\hat{L}_1$ а также $\hat{L}_2$ в нашем предыдущем примере) действуя на $\psi$ приводит к тому же результату $\phi$ :

\hat{Е} ψ \equiv я ℏ \frac{\partial}{\partial т} ψ знак равно \hat{ЧАС} ψ \equiv (- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} + В (Икс)) ψ знак равно ф

$\hat{E}\psi\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=\hat{H}\psi\equiv \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\psi=\phi$ Это происходит от того, что

\hat{E} ψ = E ψ = ϕ

$\hat{E}\psi=E\psi=\phi$ ,

E = \frac{p^{2}}{2 m} + V (x)

$E=\frac{p^2}{2m}+V(x)$ и замена

p

$p$ по

\hat{p}

$\hat{p}$ а также

x

$x$ по

\hat{x}

$\hat{x}$ дает нам оператор Гамильтона

H (\hat{x}, \hat{p})

$H(\hat{x},\hat{p})$ такой, что

\hat{H} ψ = E ψ = ϕ

$\hat{H}\psi=E\psi=\phi$ . Таким образом, мы можем считать, что

\hat{E} \equiv \hat{H}

$\hat{E}\equiv \hat{H}$ только на конкретном функциональном пространстве функций

ψ (x, t)

$\psi(x,t)$ , хотя они разные

\hat{E} \neq \hat{H}

$\hat{E}\neq \hat{H}$ (как

{\hat{L}}_{1}

$\hat{L}_1$ ,

{\hat{L}}_{2}

$\hat{L}_2$ находятся).

Ханс де Врис · Answer 4

Ханс де Врис

Цель гамильтониана - определить эволюцию во времени $\frac{\partial}{\partial t}$ , и поэтому используя $\frac{\partial}{\partial t}$ сам по себе как гамильтониан « бесполезен » тем более, что все системы, независимо от лежащей в их основе физики, будут иметь один и тот же гамильтониан.

Что вам нужно, так это выражение, которое, в зависимости от конкретной физики, предсказывает временную эволюцию, используя величины, которые уже известны до того, как временная эволюция действительно произойдет.

С уважением, Ханс

Любош Мотл

Дорогой Ганс,

\partial / \partial t

$\partial /\partial t$ конечно, не «гамильтониан по определению». Это по определению предел

[o b j e c t (t + d t) - o b j e c t (t)] / d t

$[object(t+dt)-object(t)] / dt$ в пределе

d t \to 0

$dt\to 0$ . Уравнение Шредингера справедливо только для векторов состояния, удовлетворяющих правильным динамическим уравнениям — не для всех объектов и даже не для зависящих от времени элементов гильбертова пространства в физике — и это нетривиальный закон физики (ограничение), а не «определение " чего либо. Возможно, вы могли бы сказать и обратное: гамильтониан по определению является оператором, производящим сдвиги времени, но «есть» здесь не симметрично.

Ханс де Врис

Уважаемый Любош, Простое непонимание ОП, на мой взгляд, лучше всего достигается простым ответом. То есть: цель гамильтониана - определить эволюцию во времени

\partial / \partial t

$\partial/\partial t$ , или, как вы говорите: гамильтониан по определению является оператором, производящим сдвиги времени. Как только это будет понято, он увидит, что бесполезно определять

\partial / \partial t

$\partial/\partial t$ как гамильтониан. Ответ QMechanic также указывает на это, но все еще делает это в контексте ограниченной области применения уравнения Шредингера.

Ханс де Врис

Адаптировал формулировку основного поста, чтобы выразить то, что я сказал в комментарии.

Любош Мотл

Верно, ты понял, Ганс. Когда кто-то говорит, что «гамильтониан по определению XY», существуют разные точки зрения на то, что может означать это «определение». Конечно, можно конструктивно определить гамильтониан для конкретных систем, например

p^{2} / 2 m + V (x)

$p^2/2m+V(x)$ , и в этом случае это выражение по определению. В более общем смысле мы хотим определить его как все, что необходимо для выполнения уравнений Шредингера или Гейзенберга. Последний подход является более общим. Тем не менее, когда мы говорим, что «уравнение выполнено», это не то же самое, что говорить «операторы одинаковы», потому что

ψ

$\psi$ нельзя отменить.

Любош Мотл

Кроме того, было бы «бесполезно» определять оператор таким же, потому что тогда у вас не было бы нетривиальных динамических уравнений, которые могли бы предсказывать будущее. Это вы, наверное, говорите. Однако, даже если бы это было бесполезно, все же можно спросить, будет ли это законным. Я думаю, что ответ «Нет», см., например, ответ Qmechanic.

[H, t] = 0

$[H,t]=0$ отличается от ненулевого

\partial_{t}, t = 1

$\partial_t,t=1$ поэтому операторы не могут быть одинаковыми. (

\partial_{t}

$\partial_t$ на самом деле не оператор, действующий на такие состояния, как

ψ (x, y, z)

$\psi(x,y,z)$ но "расширенные" состояния

ψ (x, y, z, t)

$\psi(x,y,z,t)$ и т.д.: очередное «искажение».)

Антиллар Максимус · Answer 5

Хотя это и не имеет прямого отношения к рассматриваемому вопросу, я хотел бы сделать замечание, что оператор импульса не обязательно возникает из-за наложения коммутатора. Возникает следующим образом:

Начните с определения оператора перевода, который действует на поле (сначала рассмотрим простой случай):

$\hat{T}_a\psi(x)=\psi(x+a)$

Развернуть как:

$\hat{T}_a\psi(x)=\psi(x)+a\psi'(x)+ \frac{a^2\psi''(x)}{2!}+...$

знак равно $[I+a\psi'(x)+ \frac{a^2\psi''(x)}{2!}+...]\psi(x)$

Вызов производного оператора $\hat{D}$ . Используя обозначение экспоненты, мы можем записать это как:

$\hat{T}_a\psi(x)=e^{a\hat{D}}\psi(x)$

Теперь мы имеем, что дифференциальный оператор является бесконечно малым генератором переноса.

Чтобы оператор перевода оставался эрмитовым , мы переопределяем определение нового оператора $\hat{p}=i\hat{D}$ .

Затем это отождествляется с физической величиной «импульс», если переменная x описывает «положение». Это еще много чего, и, возможно, я отредактирую этот пост, когда у меня будет время.

Я хочу подчеркнуть, что $i$ 's не добавляются вручную в произвольной манере, но для таких замен есть цель.

Долгое время меня не устраивало то, как учебники QM подходят к теме операторов. Никто не говорил мне об этом на вводном уроке QM. Мне очень повезло, что у меня был превосходный учитель математической физики, который объяснил мне это. Отличный класс и замечательный учитель!

Можем ли мы получить записи этого класса? :)
@Revo Вам следует прочитать книгу Сакурая по квантовой механике.

Робин Экман · Answer 6

Уравнение Шредингера на самом деле не является УЧП. Это ОДА. Уравнение Шредингера $i\hbar \frac{d}{dt} | \psi\rangle = \hat H | \psi\rangle$ . Здесь вектор состояния $| \psi\rangle$ является $\mathcal H$ -значная функция одной независимой переменной $t$ а также $\mathcal H$ некоторое гильбертово пространство и $\hat H$ является оператором в этом гильбертовом пространстве. Существует только одна независимая переменная, так что это ОДУ.

Теперь, оператор $\hat H$ обычно является функцией операторов $\hat x, \hat p$ которые удовлетворяют $[\hat x, \hat p] = i\hbar$ (а также другие операторы, такие как спин, и, возможно, также $t$ ). Благодаря теореме Стоуна-фон Неймана такие операторы всегда можно представить в виде, где для собственных состояний оператора $\hat x$ , сказать $|x\rangle$ ,

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} ⟨ Икс | \hat{Икс} | ψ ⟩ & знак равно Икс ⟨ Икс | ψ ⟩ \\ ⟨ Икс | \hat{п} | ψ ⟩ & знак равно - я ℏ {\frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} ⟨ {Икс}^{'} | ψ ⟩ |}_{{Икс}^{'} знак равно Икс} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \langle x | \hat x | \psi \rangle & = x\langle x|\psi\rangle \\ \langle x | \hat p |\psi\rangle & = -i\hbar \left.\frac{\partial}{\partial x'} \langle x' | \psi\rangle \right|_{x' = x}\end{align} \tag{1}$ а если ввести

ψ (x, t) = ⟨ x | ψ ⟩

$\psi(x,t) = \langle x | \psi\rangle$ (запомнить

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ зависит от

t

$t$ ) получаем обычный способ записи,

\hat{x} = x, \hat{p} = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}

$\hat x = x, \hat p = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ . Иногда люди даже пишут

\hat{p} ψ (x) = - i ℏ \frac{\partial ψ (x)}{\partial x}

$\hat p \psi(x) = -i\hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}$ но это полное злоупотребление обозначениями, потому что

ψ (x)

$\psi(x)$ это число и

\hat{p}

$\hat p$ действует в гильбертовом пространстве, а не на числах. Что они имеют в виду

(\hat{p} ψ) (x)

$(\hat p \psi)(x)$ но это не то, что они пишут.

В любом случае, если вы используете (1), вы часто можете написать уравнение Шредингера, как

я ℏ \partial_{т} ψ (Икс, т) знак равно - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \partial_{Икс}^{2} ψ (Икс, т) + В (Икс) ψ (Икс, т)

$i\hbar \partial_t \psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 \psi(x,t) + V(x) \psi(x,t)$ и это похоже на УЧП, потому что вы решили написать векторную ОДУ

i h \frac{d}{d t} | ψ ⟩ = \hat{H} | ψ ⟩

$ih\frac{d}{dt} |\psi\rangle = \hat H |\psi\rangle$ в компонентах по конкретной основе .

x

$x$ на самом деле не является независимой переменной. Это компоненты маркировки индекса .

Дж. Мануэль · Answer 7

Многие ответы дали вам подробные объяснения, которые являются хорошими. Однако есть и простые причины. Вопреки тому, что было сказано, я думаю, что ваша аналогия направляет вас на правильный путь.

Так же, как вы упомянули, что второй закон Ньютона не предназначен для нахождения $F$ . Все еще, $F$ не следует воспринимать как $ma$ . $F$ является абстракцией чего - то еще , что должно быть подключено туда, что представляет собой количество взаимодействий или возмущений, которые внешние элементы оказывают на частицу. Согласно своей установке, $F$ будет заменена правильной функцией $f(x, \dot x,t)$ . Например, если установка является эластичной, уравнение второго закона Ньютона будет подставлено к закону Гука. То же самое происходит, если взаимодействие гравитационное, электрическое и т. д. Итак, $F$ может иметь много разных вкусов, иногда таких принципиально разных, как гравитация и электромагнетизм (по крайней мере, на данный момент), в зависимости от вашего эксперимента.

Сейчас в $\hat{H}\Psi~=~i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}$ , Правую часть этого уравнения не следует принимать за то же самое, что и левую часть этого уравнения. $\hat H$ является абстракцией чего - то еще , что тоже должно быть подключено туда. Например, если иметь дело с нерелятивистской простой частицей, $\hat H$ следует заменить гамильтонианом Шрёдингера. Для нерелятивистского электромагнитного поля его заменяют оператором Паули, то же самое касается гамильтониана Дирака.

Питер Морган · Answer 8

В любом формализме, в котором гильбертово пространство состояний связано с пространственноподобной гиперплоскостью, что, безусловно, имеет место в вашем примере с уравнением Шредингера, время является параметром, который выделяет гильбертово пространство. $\mathcal{H}_t$ . В этом случае ответы от Lubos и Qmechanic довольно хорошо описывают ситуацию.

В квантовой теории поля, безусловно, в наиболее широко используемых формализмах гильбертово пространство состояний все еще ассоциируется с пространственноподобной гиперплоскостью (и лоренцева ковариантность этих формализмов несколько затруднена), так что снова время является параметром, и снова Ответы от Lubos и Qmechanic хорошие. Однако можно построить формализмы, в которых гильбертово пространство связано со всем пространством-временем, и в этом случае пространственно-подобные и времениподобные переносы гораздо более прямо сопоставимы. Есть _разница между времениподобным и пространственноподобным переносом из-за разного знака метрики для двух случаев, однако времениподобный перенос может быть представлен как оператор, действующий в одном гильбертовом пространстве, как и пространственноподобные переносы. Однако можно утверждать, что в таких формализмах нет уравнения Шёдингера, что скорее выходит за рамки вашего Вопроса (и, следовательно, это будет просто запутанное отступление --- но, если вам интересно, эта математика там ...).

Все это достаточно хорошо с точки зрения математики, и я надеюсь, что наблюдение контраста поможет, но альтернативная конструкция, как я описал ее выше, по существу не нашла полезного применения в качестве физического описания.

The_Sympathizer · Answer 9

Более глубокая проблема с этим предположением заключается в том, что оно предполагает концептуальное тождество между понятиями гамильтониана и энергии, а это тождество неверно. То есть необходимо применить различение, чтобы разделить эти две вещи.

Концептуально энергия — это физическая величина, которая в некотором смысле является «деньгами природы» — «валютой», которую вы должны потратить, чтобы произвести физические изменения в мире. На несколько более глубоком уровне энергия для времени — это то же самое, что импульс для пространства. Это можно увидеть во многих областях, таких как теорема Нётер, которая связывает закон сохранения энергии с тем фактом, что история системы может быть перенесена назад и вперед во времени и по-прежнему будет работать одинаково, т.е. предпочтительный момент времени в законах физики, а также то же самое для импульса, который перемещается в пространстве и продолжает работать таким же образом. Это также происходит в теории относительности, в которой «четырехимпульс» включает энергию в качестве своего временного компонента.

Гамильтониан, с другой стороны, является математически модифицированной версией лагранжиана посредством так называемого преобразования Лежандра. Лагранжиан — это способ описать, как эти силы влияют на эволюцию физической системы во времени с точки зрения процесса оптимизации, а гамильтониан напрямую преобразует это в часто более полезный/интуитивный процесс дифференциального уравнения. Во многих случаях гамильтониан равен , полная механическая энергия системы $E_\mathrm{mech}$ , т.е. $K + U$ , но это не всегда так даже в классической гамильтоновой механике, факт, который указывает и подчеркивает основное концептуальное разделение между ними.

В квантовой механике концепция «энергия для времени — то же, что импульс для пространства» проявляется в том, что она является генератором временного переноса или генератором эволюции точно так же , как импульс является генератором пространственного переноса . В частности, так же, как у нас есть «оператор импульса»

\hat{п} знак равно - я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс}

$\hat{p} := -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$

которая переводит позиционное пространство (здесь для простоты используется одно измерение) волновую функцию (математическое представление ограниченной информации о положении частицы со стороны агента) $\psi$ через несколько расплывчатое «уравнение бесконечно малых»

ψ (Икс - д Икс) знак равно ψ (Икс) + (\frac{я}{ℏ} \hat{п} ψ) (Икс)

$\psi(x - dx) = \psi(x) + \left(\frac{i}{\hbar} \hat{p} \psi\right)(x)$

для перевода его крошечным толчком вперед $dx$ , также мы хотели бы иметь оператор энергии

\hat{Е} знак равно я ℏ \frac{\partial}{\partial т}

$\hat{E} := i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$

который делает то же самое, но для переноса во времени (изменение знака происходит потому, что мы обычно рассматриваем временное продвижение от $t$ к $t + dt$ , в противоположность психологическим (возможно, также психокультурным) предпочтениям, чтобы пространственные движения были направлены вправо в наших описаниях вещей). Проблема здесь в том, что волновые функции обычно не содержат параметра времени, и, по крайней мере, нерелятивистская квантовая механика рассматривает пространство и время по отдельности, поэтому приведенное выше не может быть истинным оператором в пространстве состояний системы. Скорее, это скорее «псевдооператор», который мы «хотели бы» иметь, но не можем «на самом деле» по этой причине. Следует отметить, что это выражение появляется справа от уравнения Шредингера, которое мы могли бы, таким образом, «лучше» записать как

\hat{ЧАС} [ψ (т)] знак равно [\hat{Е} ψ] (т)

$\hat{H}[\psi(t)] = [\hat{E}\psi](t)$

куда $\psi$ теперь представляет собой временную последовательность волновых функций (то есть «карри-функцию», которая становится «обычной» функцией, когда вы рассматриваете волновые функции как независимые от базиса векторы Гильберта). Гамильтонов оператор $\hat{H}$ является добросовестным оператором , который действует только на «настоящей» информации о конфигурации системы. Что это уравнение «на самом деле» говорит, так это то, что для того, чтобы такой временной ряд представлял достоверную физическую эволюцию, гамильтониан также должен быть в состоянии перевести его во времени. Различие между гамильтонианом и энергией проявляется в том, что гамильтониан не будет транслировать каждую временную последовательность, в то время как псевдооператор энергии будет , точно так же, как оператор импульса будет транслировать каждую пространственную волновую функцию. Более того, возможно множество гамильтонианов, которые приводят к одному и тому же энергетическому спектру.

Поскольку эти две вещи разные, нет смысла приравнивать их к операторам, как было предложено. Вы можете и должны иметь $\hat{H}[\psi(t)] = [\hat{E}\psi](t)$ , но у вас не должно быть $\hat{H} = \hat{E}$ !

Джозеф Ф. Джонсон · Answer 10

Короткий ответ: потому что он тождественно равен нулю.

Если вы говорите «оператор», вы должны указать, ¿ в каком пространстве он работает?

Немного упрощая ответ Питера Моргана, здесь предполагается, что гамильтониан является оператором в гильбертовом пространстве векторов состояния (или волновых функций) системы. В вашем случае это гильбертово пространство представляет собой пространство функций трех переменных, $x$ , $y$ , а также $z$ . Их можно было обозначить $\psi(x,y,x)$ , Например,

е^{- {Икс}^{2} - у^{2} - г^{2}}

$e^{-x^2-y^2-z^2}$ или, например,

v

$v$ . Они постоянны во времени, поэтому, если вы возьмете их производную по времени, вы получите ноль... Я не шучу. Вы запутались, потому что вектор может меняться во времени, но тогда это другой вектор, т.е. если считать

в_{т} знак равно ψ_{т} (Икс, у, г)

$v_t=\psi_t(x,y,z)$ это описывает путь в гильбертовом пространстве. Но операторы применяются только к отдельным векторам в гильбертовом пространстве, а не к путям ... это то, что имели в виду некоторые другие авторы, когда указывали, что время здесь является параметром. Пример пути в гильбертовом пространстве можно было бы дать с помощью конкретной формулы, но тогда это снова заставило бы вас запутаться в разнице между параметром и переменной... поэтому я не буду приводить примеры.

Максимав · Answer 11

Ответ на главный вопрос на самом деле очень короткий. Время является внешним параметром в обычном QM; параметризующие унитарную эволюцию. Оно, а также $i\partial_t$ , ничего общего с операторами, наблюдаемыми и т.д. Другими словами $t$ в $\psi(t)$ не перечисляет некоторые базисные векторы наблюдаемой, например $x$ делает в $\psi(x)$ .

Виртуальный Фотон · Answer 12

Спрашивать, почему

я ℏ \frac{\partial}{\partial т}

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}$ не является гамильтоновым оператором в КМ, это то же самое, что спрашивать, почему производная по времени не является гамильтонианом в уравнениях Гамильтона:

\frac{д п_{я}}{д т} знак равно - \frac{\partial ЧАС}{\partial д_{я}}, \dots

$\frac{d p_i}{dt} = -\, \frac{\partial H}{\partial q_i}, \qquad \dots$

Возможно, вы могли бы предоставить больше информации о том, как это отвечает на вопрос ОП?

фрейд · Answer 13

Я думаю, вы отвечаете правильно. Определение - материя. Гамильтониан по определению является оператором полной энергии. Предполагая $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ является гамильтонианом, приводит к проблемам, так как это выражение не содержит информации об энергии системы, которая состоит из кинетической и потенциальной частей в зависимости от конфигурации системы.

Халкстер · Answer 14

Поскольку время не является динамической переменной в QM, например $x$ или же $p$ . Следовательно, нет спектральной теоремы в терминах времени. Оператор" $i\hbar \partial_t$ - это только что постулированный метод отбрасывания полной энергии как среднего значения. Конечно, для каждого набора собственных состояний существует набор энергий, но эти энергии определяются оператором Гамильтона.

Бейли В · Answer 15

Хотя это уже неявно содержится в других ответах, я подумал, что просто изложу здесь свою точку зрения.

Состояние частицы характеризуется вектором состояния . Наблюдаемые величины представляются линейными операторами на векторах, а измеряемые значения являются собственными значениями линейных операторов. Изучение квантовой механики состоит в том, чтобы определить, как вектор состояния и, следовательно, измеримые значения изменяются с течением времени . В частности, время не является наблюдаемой, т.е. нельзя говорить о времени частицы как о ее положении или ее импульсе, потому что вектор состояния должен существовать все время.

Теперь, когда мы говорим $\hat x = x$ а также $\hat p = -i\hbar \partial_x$ , речь идет об операциях, превращающих векторы в другие векторы. Когда мы говорим о $\partial_t$ однако в квантовой механике мы сравниваем один и тот же вектор с самим собой , только в разное время. По этой причине производная по времени вообще не может считаться оператором.

Почему iℏ∂∂tiℏ∂∂ti\hbar\frac{\partial}{\partial t} нельзя считать оператором Гамильтона?

Рево

ФрэнкХ

Qмеханик

гацу

Халкстер

Ответы (15)

Qмеханик

гацу

Qмеханик

Тревор Кафка

Qмеханик

Любош Мотл

14 оборотов, 2 пользователя 99%Andyk

Ханс де Врис

Любош Мотл

Ханс де Врис

Ханс де Врис

Любош Мотл

Любош Мотл

Антиллар Максимус

Рево

беко

Робин Экман

Дж. Мануэль

Питер Морган

The_Sympathizer

Джозеф Ф. Джонсон

Максимав

Виртуальный Фотон

Папа Кропоткин

фрейд

Халкстер

Бейли В