Почему нет второго барионного октета?

Эти два рисунка являются выдержками из страницы: A Modern Introduction to Particle Physics , Fayyazuddin & Riazuddin, 2nd Edition 2000.

На первом показан известный октет смешанного антисимметричного тензора$\:\boldsymbol{8}\:$а второй показывает октет смешанного симметричного тензора$\:\boldsymbol{8'}\:$. Я не знаю, какие частицы, если таковые имеются, представлены последним октетом.

См. также мой ответ здесь: Симметрия с точки зрения матриц . В нем октет$\:\boldsymbol{8}\:$порождается смешанным антисимметричным тензором$\:Y_{ijk}\:$, см. уравнения (B.25) и (B.35), а октет$\:\boldsymbol{8'}\:$порождается смешанным симметричным тензором$\:X_{ijk}\:$, см. уравнения (B.24) и (B.37).

Рисунки ниже являются выдержками из книги «Современное введение в физику элементарных частиц, том 1: квантовая теория поля и частицы », автор Ю. Нагашима, издание 2010 г.

В «КВАРКАХ И ЛЕПТОНАХ: Вводный курс современной физики частиц », Ф.Хальзен-А.Мартин, издание 1984 г., мы встречаем следующее, касающееся протона со спином вверх: мы берем смешанные антисимметричные и смешанно-симметричные состояния

Это мультиплеты, произведенные в$\:\rm SU(2)-$изоспин и по аналогии$\:\rm SU(2)-$спин-антисимметричные, симметричные мультиплеты получаются заменой в (2.60), (2.62)

Из приведенных выше заметок мы заключаем, что реальный барион$\:(1/2)^{+}\:$октет представляет собой комбинацию двух октетов со смешанной симметрией$\:\boldsymbol{8},\boldsymbol{8'}$.

Этот ответ в основном эквивалентен собственному ответу ОП с использованием немного других слов.

1. Во-первых, нам понадобится формула

   $$\dim (V^{\odot n})~=~\begin{pmatrix} n-1+\dim V \cr n \end{pmatrix} \tag{1}$$ для размерности симметричного тензорного произведения$V^{\odot n}$конечномерного векторного пространства$V$. Доказательство формулы (1) оставляем в качестве упражнения.

2. Во-вторых, нам нужно, чтобы флейвор-спиновая группа

   $$\begin{align}H~:=~&SU(3)_F\times SU(2)_S\cr ~\cong~&\begin{pmatrix} SU(3)_F \cr & SU(2)_S \cr && 1\end{pmatrix}_{6\times 6}~~\cr ~\subseteq~& SU(6)~=:~G\end{align}\tag{2}$$ является подгруппой$SU(6)$, т.е. унитарное$6\times 6$матрицы с единичным определителем. Это означает, что любое$G$разлагается по правилам ветвления в прямую сумму невозвратов для$H$.

3. В-третьих, кварк$q$трансформируется под$H$в фундаментальном представлении

   $${\bf 3} \otimes {\bf 2} ~\cong~{\bf 6},\tag{3}$$ который изоморфен фундаментальному иррепу$SU(6)$. Далее постулируем, что$SU(6)$группа является приближенной симметрией КХД. 3 кварка должны находиться в полностью симметричном тензорном произведении.${\bf 6}^{\odot 3}$. Таким образом, когда антисимметричный$SU(3)_C$цветной синглет${\bf 1}_A$с учётом, полная волновая функция для 3-х фермионов становится полностью антисимметричной, как и должно быть, ср. Принцип запрета Паули.

4. В-четвертых, мы разлагаем тензорное произведение$H$-irreps в прямую сумму$H$-иррепы

   $$\begin{align}{\bf 56}_S~\stackrel{(1)}{=}~&{\bf 6}^{\odot 3} \stackrel{(3)}{\cong}~\left({\bf 3} \otimes {\bf 2} \right)^{\odot 3}\cr ~\cong~&{\bf 3}^{\odot 3}\otimes {\bf 2}^{\odot 3}\oplus {\rm Adj}(SU(3)_F)\otimes {\bf 2} \cr \stackrel{(1)}{=}~&\underbrace{{\bf 10}_S}_{\begin{array}{c}\text{baryon}\cr\text{decuplet}\end{array}}\otimes \underbrace{{\bf 4}_S}_{j=\frac{3}{2}} \oplus \underbrace{\color{red}{{\bf 8}_M}}_{\begin{array}{c}\text{baryon}\cr\text{octet}\end{array}}\color{red}{\otimes} \underbrace{\color{red}{\bf 2}}_{j=\frac{1}{2}},\end{align}\tag{4}$$ где мы отметили искомый октет спин-халф$\color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}}$в красном.

5. Теперь OP хочет идентифицировать барионный октет с точки зрения несимметричного тензорного произведения.

   $$\begin{align} {\bf 6}^{\otimes 3} \quad\cong\quad& \begin{array}{rcl} [~~]& [~~] & [~~] \end{array} \quad\oplus~~ 2\cdot~~\begin{array}{rl} [~~]&[~~]\cr [~~]\end{array} \quad\oplus\quad \quad\begin{array}{c} [~~]\cr [~~]\cr [~~] \end{array} \cr \quad\cong\quad&{\bf 56}_S \oplus 2\cdot {\bf 70}_M \oplus {\bf 20}_A .\end{align}\tag{5}$$ Точно так же существует оригинальное правило слияния OP для вкуса. $${\bf 3}^{\otimes 3}~\cong~{\bf 10}_S \oplus 2\cdot \color{red}{{\bf 8}_M} \oplus {\bf 1}_A,\tag{6}$$ и есть правило Клебша-Гордана для спина $${\bf 2}^{\otimes 3}~\cong~{\bf 4}_S \oplus 2\cdot \color{red}{\bf 2}.\tag{7}$$ Обратите внимание на кратность 2 в обоих уравнениях. (6) и (7). С точки зрения вкусо-спиновой группы$H$, их не просто 2, а на самом деле$2\times 2=4$спин-полуоктеты$\color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}}$, так почему же нет еще 3 барионных октетов, ср. Вопрос заголовка OP? Мы рассчитываем: $$\begin{align} ({\bf 3} \otimes & {\bf 2} )^{\otimes 3}\cr ~\cong~&{\bf 3}^{\otimes 3} \otimes {\bf 2}^{\otimes 3}\cr ~\stackrel{(6)+(7)}{\cong}&~\left({\bf 10}_S \oplus 2\cdot \color{red}{{\bf 8}_M} \oplus {\bf 1}_A\right) \otimes \left({\bf 4}_S \oplus 2\cdot \color{red}{\bf 2} \right)\cr ~\cong~& \underbrace{\left({\bf 10}_S \otimes {\bf 4}_S \oplus \color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}} \right)}_{={\bf 56}_S} \cr &\oplus 2\cdot \underbrace{\left( {\bf 10}_S \otimes {\bf 2} \oplus {\bf 8}_M \otimes {\bf 4}_S \oplus \color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}} \oplus {\bf 1}_A \otimes {\bf 2}\right)}_{={\bf 70}_M} \cr &\oplus \underbrace{\left( \color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}} \oplus {\bf 1}_A \otimes {\bf 4}_S\right)}_{={\bf 20}_A}.\end{align} \tag{8}$$ Мы видим, что только 1 из 4 октетов спин-халф$\color{red}{{\bf 8}_M \otimes {\bf 2}}$находится в полностью симметричном тензорном произведении флейвор-спин${\bf 6}^{\odot 3}$в соответствии с требованиями ограничения цвета. Это отвечает на вопрос заголовка ОП.

Использованная литература:

1. Г. 'т Хоофт, Введение в группы Ли в физике , конспект лекций, с. 58. Файл в формате pdf доступен здесь .

2. Дж. Чайла, Кварки, партоны и КХД, конспект лекций, раздел 2.7. Файл в формате pdf доступен здесь . (Совет: Эванс .)

Я думаю, что разобрался со своей путаницей, поэтому подумал, что должен опубликовать это как ответ. Первоначальный вопрос не был корректно поставлен; надеюсь, это поможет всем, у кого есть подобные недоразумения.

Сохраняя спин в картине, пространство состояний для отдельного кварка является тензорным произведением трехмерного пространства аромата с двумерным спиновым представлением SU (2). Однако это не рассматривается как представление SU (3) x SU (2), а скорее как представление SU (6), содержащее этот продукт в качестве подгруппы. Другими словами, вы можете превращать ароматы в спины и наоборот. Как представление SU(6), тензорный куб этого стандартного 6-мерного представления разбивается на части, одна из которых является симметричным кубом. Это неприводимое 56-мерное представление. Это разлагается по подгруппе SU (3) x SU (2) в прямую сумму двух частей: одна представляет собой SU (3)-декуплет, тензорный с (4-мерным) представлением SU (2) со спином 3/2. ,

Когда вы забываете о спине, октет спина 1/2, который появляется здесь, на самом деле представляет собой смесь терминов из двух SU (3)-октетов в разложении тензорного куба из исходного вопроса. Другими словами, фактическая волновая функция протона представляет собой сумму двух членов, один из которых включает члены из одного SU (3)-октета, а другой включает члены из другого (оба тензорированы с подходящими спиновыми волновыми функциями).

Я нашел эти заметки Иржи Хилы очень полезными для того, чтобы разобраться в моем недопонимании.

Я думаю, что ответ заключается в том, что существует представление симметричного октета аромата и представление антисимметричного октета аромата, в то время как декуплет полностью симметричен. Поэтому, когда вы рассматриваете волновую функцию спина и аромата бариона для октета бариона, вы имеете:$\chi(spin)\cdot\phi(flavor)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\chi^{1/2}_s\cdot 8_s+\chi^{1/2}_a\cdot 8_a)$. где «s» означает симметричный, а «а» — антисимметричный. Верхний индекс 1/2 обозначает частицу со спином 1/2.

Я подумал, что, возможно, решение проблемы будет заключаться в том, что два октета представления, в которых расщепляется тензорное произведение 3x3x3 SU(3), являются двумя эквивалентными представлениями. Именно так Чайла говорит в своих заметках. Таким образом, одно представление может быть получено из другого путем вращения в пространстве ароматов, и два октета физически неразличимы.