Виртуальная работа: как приложенная сила связана с выбранными координатами?

Общее замечание.

Гольдштейн не говорит, что приложенные силы исчезают при «переходе к обобщенным координатам», он просто говорит, что уравнение

$$\begin{align} \sum_i \mathbf F_i^{(a)} \cdot \delta\mathbf r_i = 0 \end{align}$$ не обязательно означает, что приложенные силы равны нулю. Виртуальные бесконечно малые смещения должны соответствовать ограничениям, поэтому приведенное выше уравнение не выполняется для всех $\delta \mathbf r_i\in\mathbb R^3$, оно выполняется только для бесконечно малых перемещений, удовлетворяющих ограничениям. Если бы таких ограничений не было, то это уравнение означало бы , что приложенные силы равны нулю.

Простой пример - частица на сфере.

Подумайте о упрощенном примере — одна частица вынуждена двигаться по поверхности сферы. В этом случае все допустимые виртуальные бесконечно малые смещения касаются сферы, поэтому приведенное выше уравнение сводится к

$$\begin{align} \mathbf F^{(a)}\cdot\delta \mathbf r=0, \end{align}$$ а можно прочитать так:

Скалярное произведение чистой приложенной силы с любым вектором, касающимся сферы, равно нулю.

Это лишь означает, что приложенная сила должна быть перпендикулярна поверхности сферы, но не означает, что она исчезает.

Другой способ думать об этом, о чем говорит Гольдштейн, говоря о «независимости» координат, состоит в следующем. Когда частица движется по сфере, ее декартовы координаты удовлетворяют

$$\begin{align} x^2 + y^2 + z^2 = R^2, \tag{sphere} \end{align}$$ где $R$это радиус сферы. Следует, что $$\begin{align} x\,\delta x + y\,\delta y + z\,\delta z = 0 \tag{$\star$} \end{align}$$ или короче $$\begin{align} \mathbf r \cdot \delta \mathbf r = 0. \end{align}$$ Это означает, что координаты $x,y,z$не могут изменяться независимо друг от друга при движении частицы по сфере; действительно, они связаны уравнением $(\star)$. Однако мы можем «решить» ограничение $(\mathrm{sphere})$выше, записав декартовы координаты через два угла; $$\begin{align} x(\theta, \phi) &= R\sin\theta\cos\phi \\ y(\theta, \phi) &= R\sin\theta\sin\phi \\ z(\theta, \phi) &= R\cos\theta. \end{align}$$ Когда мы это делаем, две координаты $\theta$и $\phi$ могут варьироваться независимо, поскольку они «хорошо приспособлены» к сфере, поверхности ограничения.

Предполагая, что 1 частица ($i$=1), а взаимно ортогональные декартовы координаты ($x$,$y$,$z$), приложенная сила определяется выражением:

$${\bf F^{a}=\bf F_x^{a}+\bf F_y^{a}+\bf F_z^{a}}\tag1$$

Теперь у нас есть как дано:

$${\bf F^{(a)}}\cdot \delta{\bf r} = 0\tag2$$

Поскольку координаты взаимно ортогональны, мы можем изменять их независимо, а это значит, что, например, мы можем изменять координаты чисто вдоль$x$-ось:

$${\bf \delta r}={\bf \delta x}\tag3$$

Комбинируя (1), (2) и (3), получаем:

$${\left[\bf F_x^{a}+\bf F_y^{a}+\bf F_z^{a} \right ]}\cdot \delta{\bf x} = 0\tag4$$

что дает нам${\bf F_x^{a}}=0$. Используя аналогичные рассуждения, мы можем показать, что$y$и$z$компоненты приложенной силы$\bf F^a$также оба равны нулю.

I) Возможно, уместно привести пример: рассмотрим кольцо на карнизе для штор .

Кольцо для штор$^1$вынужден двигаться по$x$-ось. Система имеет одну степень свободы . Обобщенная координата$q\equiv x$. Отметим, в частности, что обобщенная координата$q$является неограниченным, а положение${\bf r}$ограничивается$x$-ось. Виртуальные перемещения $\delta {\bf r}=\vec{\imath}\delta q$поэтому также находятся вдоль$x$-ось.

Применяется$^2$сила

$$\tag{1} {\bf F}^{(a)}~=~-mg\vec{\jmath} ~\neq~ 0$$

на кольце гравитация в$y$- направление, перпендикулярное$x$-направление. Таким образом, принцип виртуальной работы выполняется.

$$\tag{2} {\bf F}^{(a)}\cdot \delta {\bf r} ~=~0.$$

II) Наоборот, поскольку мы не свободны варьировать$\delta {\bf r}$произвольно в ур. (2), мы не можем сделать вывод, что${\bf F}^{(a)}$равен нулю. В компонентах принцип виртуальной работы (2) становится

$$\tag{3} F_x^{(a)} \delta q ~=~0$$

Поскольку обобщенная координата$q$не имеет ограничений, из (3) получаем, что

$$\tag{4} F_x^{(a)}~=~0.$$

Отметим, в частности, что принцип виртуальной работы (1) ничего не говорит о других компонентах силы$F_y^{(a)}$и$F_z^{(a)}$. Другими словами, из (2) мы можем вывести только то, что

$$\tag{5} {\bf F}^{(a)} \perp \delta {\bf r},$$

то есть что${\bf F}^{(a)}$перпендикулярно$x$-направление.

III) Когда Гольдштейн ниже ур. (1.43) говорит

Чтобы приравнять коэффициенты к нулю, мы должны преобразовать принцип в форму, включающую виртуальные перемещения$q_i$, которые независимы,

он означает, что (после преобразования) мы можем приравнять новые коэффициенты к нулю. Он не имеет в виду, что мы можем приравнять старые коэффициенты к нулю.

--

$^1$Будем считать кольцо точечной частицей и для простоты пренебрежем трением.

$^2$Для определения приложенной силы см., например, мой ответ Phys.SE здесь и ссылки в нем. Ограничивающая сила на кольце — это нормальная сила от стержня, которая гарантирует, что кольцо не упадет.