Расчет амплитуды перехода

Амплитуда равна следующему интегралу по путям

$$\int Dq(\tau)\int \frac{Dp(\tau)}{2\pi}exp\left[i\int^{t_f}_{t_i}d\tau \tilde{L}[q(\tau),p(\tau)]\right]$$ где $$\tilde{L}=p\dot{q}-\frac{p^2(\tau)}{2f(q(\tau))}$$ который не является лагранжианом, потому что $p$не связано с $q$и $\dot{q}$. Интеграл по $p$может быть легко выполнено, потому что это интеграл Гаусса: $$\int\frac{Dp}{2\pi}exp\left[i\int^{t_f}_{t_i}d\tau\int^{t_f}_{t_i}d\tau^\prime \tilde{L}[q(\tau),p(\tau)]\delta(\tau-\tau^\prime)\right] \\=N\frac{1}{\sqrt{detA}}exp\left[i\int^{t_f}_{t_i}d\tau\tilde{L}[q(\tau),\tilde{p}(\tau)]\right]$$ где $\tilde{p}$является стационарной точкой, удовлетворяющей каноническому уравнению $$\dot{q}=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{p=\tilde{p}}$$ а сейчас $\tilde{L}$можно заменить лагранжианом $L$и нам нужно только сделать интеграл по путям по $q(\tau)$; и матрица $A$является $$A_{\tau,\tau^\prime}=\frac{\delta(\tau-\tau^\prime)}{f(q(\tau))}$$ определитель которого может быть выражен как $$detA=e^{trlnA}=exp\left(tr[-\delta(\tau-\tau^\prime)lnf(q(\tau))]\right)\\ =exp\left[-\delta(0)\int d\tau lnf(q(\tau))\right]$$ которое можно рассматривать как модификацию лагранжиана.