Расчет полного углового момента состояния трех частиц со спином 1/2

Question

Расчет полного углового момента состояния трех частиц со спином 1/2

FeelsToWaltz

Я столкнулся с проблемой, связанной с системой с тремя частицами со спином 1/2 в заданном состоянии, для которой общий (спиновый) угловой момент может быть рассчитан с использованием $\hat{S}^2$ оператор в представлении

{\hat{С}}^{2} "=" {\hat{С}}_{-} {\hat{С}}_{+} + ℏ {\hat{С}}_{г} + {\hat{С}}_{г}^{2}

$\hat{S}^2 = \hat{S}_-\hat{S}_+ + \hbar\hat{S}_z + \hat{S}^2_z$ Три частицы находятся в состоянии

| ψ ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{6}} (- 2 | ↓↓↑ ⟩ + | ↓↑↓ ⟩ + | ↑↓↓ ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}\left(-2|\downarrow\downarrow\uparrow\rangle + |\downarrow\uparrow\downarrow\rangle + |\uparrow\downarrow\downarrow\rangle\right)$ Я вижу, что решение этого вопроса дает полный угловой момент вращения

1 / 2 ℏ

$1/2\hbar$ , но работа над проблемой самостоятельно не дает мне такого же результата. Я вижу, что применение каждого оператора к состоянию дает значение, соответствующее

S (S + 1) ℏ

$S(S+1)\hbar$ который затем должен дать значение для

S

$S$ но, например, отработанное решение, которое у меня есть, дает результат

ℏ {\hat{S}}_{z}

$\hbar\hat{S}_z$ оператор в состоянии быть

- 1 / 2 ℏ^{2}

$-1/2\hbar^2$ , чего я не вижу.

Как я работаю с составляющими $\hat{S}^2$ в этом состоянии?

схх

Какую книгу вы используете? Для одного,

S^{2}

$S^2$ и

S_{z}

$S_z$ не работай с системой "хорошо" и не получишь результата

ℏ s (s + 1)

$\hbar s(s+1)$ . Вы можете применить оператор полного углового момента после использования коэффициентов Клебша – Гордана, чтобы разложить ваши связанные состояния. (или пара ваших разложенных состояний? Я не уверен, как идет формулировка.)

Ответы (1)

Расчет полного углового момента состояния трех частиц со спином 1/2

Какую книгу вы используете? Для одного, $S^2$ и $S_z$ не работай с системой "хорошо" и не получишь результата $\hbar s(s+1)$ . Вы можете применить оператор полного углового момента после использования коэффициентов Клебша – Гордана, чтобы разложить ваши связанные состояния. (или пара ваших разложенных состояний? Я не уверен, как идет формулировка.)

Джонатан Кертис · Answer 1

Рассмотрим каждое из состояний суперпозиции. Каждый из них является собственным вектором коллективного оператора

С_{г} "=" С_{г}^{(1)} \otimes 1 \otimes 1 + 1 \otimes С_{г}^{(2)} \otimes 1 + 1 \otimes 1 \otimes С_{г}^{(3)}

$S_z = S_z^{(1)}\otimes 1\otimes 1 + 1\otimes S_z^{(2)}\otimes 1+ 1\otimes 1\otimes S_z^{(3)}$ поскольку у каждого из них есть два вращения вниз и одно вращение вверх. Таким образом, они имеют чистое собственное значение спина

1 / 2

$1/2$ вниз. В явном виде для третьего элемента (принимая

ℏ = 1

$\hbar = 1$ ),

С_{г} | ↑↓↓ ⟩ "=" \frac{1}{2} | ↑↓↓ ⟩ + (- \frac{1}{2}) | ↑↓↓ ⟩ + (- \frac{1}{2}) | ↑↓↓ ⟩ "=" - \frac{1}{2} | ↑↓↓ ⟩ .

Это имеет смысл, но разве множитель (-2) в первом элементе не дает общий результат 0? т.е. -2(-1/2) -1/2 -1/2 = 0
Нет, потому что каждый из этих коэффициентов умножает кет (в случае -2 это $|\uparrow \downarrow \downarrow\rangle$ кет. Затем вы выносите на множитель 1/2 и видите, что вся комбинация векторов является собственным вектором с собственным значением 1/2, что говорит вам о сумме $S_z$ является.

Расчет полного углового момента состояния трех частиц со спином 1/2

FeelsToWaltz

схх

Ответы (1)

Джонатан Кертис

FeelsToWaltz

Джонатан Кертис

Расчет ожидаемого значения спина [закрыто]

Непонимание последовательного измерения вращения

Как вы можете доказать, что сумма квадратов ожидаемых значений трех компонентов спина равна 1?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Помогите упростить уравнение коммутатора

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП