Решить схему детектора конверта

Я работал над небольшим проектом, и мне было интересно, можно ли аналитически решить схему детектора огибающей. Позволь мне объяснить.

Схема показана выше, я знаю значения$C$,$R$и$V(t)$что является входным сигналом. Мой$V(t)$— гладкая функция, и я знаю все ее производные. То, что я хотел бы найти, это функция времени$V_d(t)$которое представляет собой падение напряжения на диоде при условии, что уравнение Шокли верно в каждый момент времени.

$$I(t) = I_s \Big(\exp \Big(\frac{V_d(t)}{V_t}\Big) - 1 \Big)$$

Еще я предполагаю, что закон Кирхгофа о напряжении верен для всех$t$. Я нашел довольно неприятное дифференциальное уравнение первого порядка, которое выглядит так:

$$\exp\Big(\frac{V_d(t)}{V_t}\Big) = \lg \Big[\frac{1}{I_s} \Big( \frac{V - V_t}{R} + C\frac{d}{dt} (V - V_d) \Big) + 1\Big]$$

Можно ли решить эту схему? Есть ли у результата какие-либо ограничения, кроме упомянутых выше?

РЕДАКТИРОВАТЬ: я понял, что вопрос имеет меньшее значение, не зная$V_t$, в данном случае это:

$$V_t(t) = A(1 + m \cos (2 \pi f_1 t + \phi_1))cos(2\pi f_2 t+ \phi_2)$$