В неплатонизме могут ли неразрешимые утверждения иметь истинностное значение?

Я думаю, что вопросы заголовка и основного текста немного отличаются. Здесь я собираюсь ответить на заглавный вопрос, который для ясности перефразирую так:

Какую «математическую истину» может понять неплатоник?

Я думаю, что это менее странно, чем может показаться на первый взгляд, поскольку существует существующая параллель: «четкие» и «нечеткие» референты в естественном языке . Грубо говоря, хотя платонизм придерживается позиции, согласно которой каждое математическое утверждение имеет определенное истинностное значение, отказ от платонизма не требует от нас отказа от всех математических утверждений как бессмысленных; мы можем иметь «степени реализма» в нашей математике.

Различные авторы писали о различиях, которые здесь играют роль, не придерживаясь (или даже прямо отвергая) платонизм; см., например , Feferman , Koellner, отвечающий Feferman , или Hamkins — или, в более общем плане, материалы EFI Гарварда .

( Этот мой старый ответ связан.)

Ситуация, на которой я хочу сосредоточиться в естественном языке, двояка:

• Чтобы иметь определенное истинностное значение, «ингредиенты» предложения — включая, помимо прочего, упомянутые объекты — должны быть «достаточно значимыми» (выше я использовал для этого термин «острый»).

• Существуют различные уровни осмысленности — или, что более приятно, существуют различные уровни неопределенности .

Например, я думаю, что — при некоторых очень мягких онтологических допущениях — мы все согласимся с тем, что предложение «Земля вращается вокруг Солнца» бесспорно верно. Однако,

(И это даже не затрагивает вопрос о свойствах : как мы должны думать о таких предложениях, как «Стив дружелюбен » или «погода на улице холодная »?)

Математика, можно утверждать, подвержена подобному явлению — хотя по разным причинам мы можем по большей части его игнорировать: существуют разные степени осмысленности . Вот один конкретный взгляд на то, как это может выглядеть:

• Число «3» полностью осмысленно (а «3 — нечетное» имеет истинностное значение без всяких проблем), поскольку оно реально реализуемо : я могу прямо сейчас создать его экземпляр, подняв средний, указательный и безымянный пальцы правой руки (что мне и случается). иметь).

• Число «8394756» почти полностью осмысленно: хотя оно и нереализуемо, у нас есть высокая степень уверенности в том, что оно реализуемо физически (например, что на самом деле существует по крайней мере столько же песчинок на пляже, так что со временем мы может создать экземпляр рассматриваемого числа).

• Число 10^50 очень многозначительно: хотя, согласно нашему нынешнему пониманию Вселенной, оно в некотором смысле конкретизировано (считается, что атомов во Вселенной больше, чем это число), существуют серьезные препятствия для его воплощения (например, время, которое потребуется, чтобы «собрать» все эти атомы «в одном месте», может оказаться настолько долгим, что они вообще перестанут быть атомами .

• Число Грэма имеет довольно большое значение: в настоящее время нет понимания Вселенной, согласно которому она хотя бы правдоподобно реализуется физически, но мы можем представить себе альтернативные вселенные с более или менее теми же законами физики, в которых она существует. То есть его «абстрактная конечность» является его спасительной благодатью.

• Но бесконечный кардинал, такой как $\aleph_0$, вторгается в единственную-отчасти-значительную территорию: нам пришлось бы приспосабливать бесконечно большую вселенную, чтобы ее можно было создать в каком-либо смысле, и неясно, будет ли это учитываться. .

• И тогда все действительно ломается, когда мы нажимаем что-то вроде $ 2 ^ {2 ^ {\aleph_0}} $ или что-то подобное.

Здесь, конечно, есть пара основных вопросов:

• Имеет ли смысл эта градация? Платоник сказал бы «нет» , но не-платонику это может показаться довольно интересным — даже формалист может увидеть что-то, чтобы выйти из этого (например, я лично), на том основании, что на самом деле довольно трудно уйти от «реального». ность" из 3.

• Произвольна ли эта градация? Даже если предположить , что мои соответствующие представления о физической вселенной точны, спектр, на который я указал выше, возможно, весьма условен. Последнее предложение вашего вопроса («кажется произвольным полагать, что некоторые неразрешимые утверждения имеют значение истинности, когда уже принято, что другие не имеют значения») сильно поражает: какие критерии мы используем для оценки осмысленности и, в частности, в какой степени? должны ли мы придерживаться «мета-платонизма» («существует определенный факт относительно многих вопросов, касающихся сравнительной осмысленности») — и почему это оправдано ?

Хотя эти критические замечания весьма важны, я думаю, что описанный выше подход, в конечном счете, ценен (и на самом деле я его придерживаюсь).

Решение касается формальных систем. Так что проблема возникает только внутри формализма. Можно отрицать платонизм и все же не закрепить математику в аксиоматических системах.

Программа, которая привела Геделя к полноте, конкурирует с более радикальной реакцией на пробел в работе Фреге. Первой среди них является оригинальная форма интуитивизма, предложенная Брауэром.

Математическая истина для Брауэра основывалась на человеческой интуиции и творческой силе. Таким образом, утверждение, которое иначе было бы доказуемо неразрешимым, можно было бы принять и развить, если бы оно имело определенный вид естественной привлекательности.

В то же время большое количество результатов сразу же стало «недоказанным» по меркам Брауэра на основании того факта, что закон исключенного третьего рассматривался как наиболее интуитивная причина парадокса Рассела и от него отказались. За этим последовала в основном математика, которая еще больше ушла в сторону конечных и аппроксимативных методов.

Но некоторые более поздние интуиционисты (например, Стивен Клини) пошли в противоположном направлении и признали, что для классической математики вполне нормально (хотя и несколько бесцеремонно?) придерживаться Закона исключенного третьего и искать что-то еще, что нужно отбросить, чтобы избегать различных парадоксов, пока они делают это осторожно. (По большому счету, они просто этого не делают, потому что рассматривают философскую проблему как навязчивое вторжение в свою работу.) Это означает, что следует опробовать другие неразрешимые суждения, чтобы посмотреть, приведут ли они к следствиям, имеющим интуитивную привлекательность.

Таким образом, люди рассмотрели потенциальные преимущества принятия сильного отрицания аксиомы выбора, известного как бесконечная детерминированность игры, чтобы избавиться от парадокса Тарского и потенциально найти более интересную и привлекательную территорию. Некоторые теоретики чисел приняли гипотезу континуума, потому что наличие данной модели бесконечных порядков упрощает некоторые конечные результаты.

Большая ветвь области Порядковой теории посвящена тому, что происходит, когда вы принимаете или не принимаете различные Большие Кардинальные Аксиомы, и построению своего рода карты вариантов в надежде, что этот более широкий взгляд может развить интуицию и дать нам хороший способ выбрать наши аксиомы в будущем. Это проект Вудина.

Остаются активные разработки в неплатонистской математике за пределами формализма.