Волновая функция системы двух одинаковых частиц

Для системы двух одинаковых частиц, где р 1 - вектор положения частицы 1 и р 2 это позиция vec. частицы 2 волновая функция должна находиться в одном из плюсовых или минусовых состояний:

ψ ± ( р 1 , р 2 ) "=" А [ ψ а ( р 1 ) ψ б ( р 2 ) ± ψ б ( р 1 ) ψ а ( р 2 ) ] ,
где ψ а и ψ б - волновые функции частиц 1 и 2 соответственно [уравнение 5.10 Гриффитса Введение в квантовую механику 2-е изд.].

Я вижу, что это уравнение делает волновую функцию ψ ± относиться к двум частицам одинаково, но я не знаю никаких доказательств того, что на самом деле это единственный способ написать это волновое уравнение, чтобы обращаться с ними одинаково. Например, почему бы не использовать волновую функцию, например:

ψ ± ( р 1 , р 2 ) "=" А ψ а 2 ( р 1 ) ψ б 2 ( р 2 ) ± ψ б 2 ( р 1 ) ψ а 2 ( р 2 )   ?

Это верная волновая функция, но вы теряете интерпретацию наличия одной частицы в состоянии a, а другой в состоянии b. У вас просто есть две частицы в каком-то сложном состоянии.

Ответы (4)

Требование

(1) ψ ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" { ψ ( Икс 2 , Икс 1 ) для бозонов − ψ ( Икс 2 , Икс 1 ) для фермионов .
Это свойство требуется теоремой о спиновой статистике в релятивистской квантовой теории поля. Поскольку предполагается, что нерелятивистская квантовая механика является приближением к релятивистской квантовой теории поля, мы также применяем ее в нерелятивистской КМ. Частным случаем уравнения (1) является
(2) ψ ( Икс 1 , Икс 2 ) ≈ { ф ( Икс 1 ) г ( Икс 2 ) + ф ( Икс 2 ) г ( Икс 1 ) для бозонов ф ( Икс 1 ) г ( Икс 2 ) − ф ( Икс 2 ) г ( Икс 1 ) для фермионов ,
но, как сказал ответ Льюиса Миллера, это всего лишь частный случай. Общее требование – уравнение (1).

Пример квадратного корня, написанный в вопросе, не удовлетворяет требованию (1).

Спасибо @Dan Yand за упоминание этой теоремы. Если мы возьмем А "=" я , разве условию (1) не удовлетворяла бы волновая функция квадратного корня?
@Mathophile-Mathochist Для сложной величины г , функция г ↦ г двузначный, с противоположными знаками. Мы можем выбрать знак для одного значения г , но тогда знак для других значений г должно определяться непрерывностью. Итак, предположим, мы начинаем с г "=" 1 и примените непрерывное вращение в комплексной плоскости, чтобы добраться до г "=" − 1 , сказать г "=" опыт ⁡ ( я θ ) с 0 ≤ θ ≤ π . Если мы выберем 1 "=" 1 , затем опыт ⁡ ( я θ ) "=" опыт ⁡ ( я θ / 2 ) . С опыт ⁡ ( я π / 2 ) ≠ − 1 , это показывает, что пример с квадратным корнем не удовлетворяет требованию смены знака фермиона.
Я вижу, это имеет смысл.

Эта форма произведения двухчастичной волновой функции верна только в том случае, если частицы не взаимодействуют. Тем не менее, оно часто используется в качестве первого приближения, и если вы возьмете среднее значение истинного гамильтониана и минимизируете его (взяв вариационную производную), вы получите уравнение Хартри-Фока для двух тел, которое часто используется для аппроксимации основного энергия состояния и волновая функция для систем многих тел фермионов. Это приближение часто называют приближением среднего поля.

Спасибо @Льюис Миллер. Правда, это только для невзаимодействующих частиц. Я ничего не знаю об уравнении Хартри-Фока для двух тел. Я знаком с вариационным исчислением, поэтому был бы признателен, если бы вы объяснили связь между этим уравнением и ОП.

Вы забываете, что волновая функция также должна удовлетворять ТИСЭ. При этом условии объединенные волновые функции должны быть суммой перестановок произведений.

Если у нас есть две частицы, одна в состоянии ψ а а другой в состоянии ψ б , то вектор состояния будет | ψ а ⟩ | ψ б ⟩ .

Однако, если частицы неразличимы, то равновероятно, что верно и обратное (т. е. «первая» частица в состоянии ψ б и "вторая" частица в состоянии ψ а ). Следовательно, мы хотели бы, чтобы все состояние было линейной комбинацией этих двух состояний, каждое из которых имело бы одинаковый вес. Поэтому мы получаем

| Ψ ⟩ "=" | ψ а ⟩ | ψ б ⟩ ± | ψ б ⟩ | ψ а ⟩

Если мы решим работать в | р 1 ⟩ | р 2 ⟩ основе, то мы получаем выражение, которое вы утверждаете.

Я думаю, что проблема с вашим состоянием заключается в том, что это не «хорошая» линейная комбинация состояний, в которых одна частица находится в состоянии. ψ а а другой в состоянии ψ б . Нам это нужно, если мы хотим, чтобы постулат сохранял это, когда | ψ ⟩ "=" ∑ с я | ψ н ⟩ , мы знаем, что существует вероятность | с я | 2 для измерения состояния системы | ψ я ⟩

Волновая функция системы двух одинаковых частиц
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v