Калибровка Фаддеева-Попова в электромагнетизме

Калибровочная симметрия означает, что уравнения движения не определяют эволюцию всех конфигурационных переменных однозначно, т. е. что система Эйлера — Лагранжа недоопределена. Каноническим примером является случай классической электродинамики, где уравнения движения

$$\begin{equation} (\partial^2\delta^\mu_\nu-\partial^\mu\partial_\nu)A_\mu=0\tag1 \end{equation}$$

Любая конфигурация формы$A_\mu=\partial_\mu\Lambda$, для произвольного$\Lambda=\Lambda(x)$, тривиально решает эти уравнения, а значит, при заданном решении$A$, конфигурация$A+\partial\Lambda$также является решением. Следовательно, решение уравнений движения неоднозначно, система недоопределена и имеет место калибровочная симметрия. Даже если мы исправим$\Lambda=0$на поверхности, где заданы начальные условия, функция$\Lambda$может быть ненулевым в любой момент времени, и, следовательно, оба$A$а также$A+\partial \Lambda$решить уравнения движения и удовлетворить начальным условиям.

Когда система недоопределена, система не имеет четко определенной функции Грина, поскольку, если бы последняя существовала, система могла бы эволюционировать от своих начальных условий к уникальному решению в более позднее время. В этом смысле калибровочная теория не имеет пропагатора. В классическом случае это не представляет проблемы, но в квантово-механическом случае это катастрофа по обычным причинам (которые мы не будем здесь обобщать).

Общий анализ калибровочных систем можно найти, например, в ссылке 1, которую мы рекомендуем прочитать OP и всем, кто заинтересован. Короче говоря, краеугольным камнем теории является вторая теорема Нётер, которую можно резюмировать как внешнее тождество формы

$$\begin{equation} D^i\mathrm{EL}_i[\varphi]\equiv 0\tag2 \end{equation}$$ куда $\mathrm{EL}$— оператор Эйлера-Лагранжа, а $D$— некоторое векторное поле, порождающее калибровочную симметрию. Эта теорема подразумевает, что не все уравнения Эйлера-Лагранжа независимы, и, следовательно, система недоопределена, как упоминалось ранее.

Конечно, любое преобразование формы

$$\begin{equation} D^i=T^{ij}\mathrm{EL}_j,\qquad\text{with}\qquad T^{ij}=-T^{ji}\tag3 \end{equation}$$ тривиально удовлетворяет уравнению 2. Эти преобразования, иногда называемые косыми , не следует рассматривать как истинные калибровочные преобразования; ими обладает любая система, и они не делают систему недодетерминированной. Если все калибровочные симметрии косые, уравнения движения однозначно определяют эволюцию, и система допускает пропагатор; квантово-механическая теория безопасна и здорова (за исключением возможных двусмысленностей Грибова, упомянутых в комментариях).

Рассмотрим, например, скалярную теорию с уравнениями движения

$$\begin{equation} (\partial^2+m^2)\phi=0\tag4 \end{equation}$$

Эта система инвариантна относительно$\phi\to\phi+\psi$, куда$\psi(x)$любая функция, которая удовлетворяет

$$\begin{equation} (\partial^2+m^2)\psi=0\tag5 \end{equation}$$

Является ли это преобразование калибровочной симметрией? Конечно нет! Это преобразование тривиально в том смысле, что оно является просто проявлением линейного характера уравнений движения. Если$\psi$равен нулю на поверхности, где заданы начальные условия, то он будет равен нулю и в любой последующий момент времени, поскольку$\psi$вынужден удовлетворять$(\partial^2+m^2)\psi=0$. Преобразование$\phi\to\phi+\psi$не является избыточностью, поскольку$\psi$ограничивается удовлетворением уравнения, решение которого единственно; фиксация$\psi$на поверхности Коши фиксирует эту функцию в любой более поздний момент времени, поэтому она не представляет собой новую степень свободы.

Рассмотрим теперь наш первоначальный пример, уравнения движения электродинамики, но теперь давайте введем калибровку Лоренца,$\partial\cdot A\equiv0$. Уравнения движения читаются

$$\begin{equation} \partial^2A=0,\qquad\partial\cdot A=0\tag6 \end{equation}$$ решение которой теперь единственно: система не имеет калибровочных степеней свободы, кроме тривиальных. Разумеется, система инвариантна относительно преобразований вида $A\to\partial \Lambda$, куда $\Lambda$вынужден удовлетворять $\partial^2\Lambda=0$, но это похоже на наш предыдущий пример: если $\Lambda$равен нулю на поверхности, где заданы начальные условия, он останется равным нулю в любой момент времени, поскольку он ограничен удовлетворением $\partial^2\Lambda=0$. Эта «остаточная калибровочная симметрия» тривиальна с точки зрения второй теоремы Нётер в том смысле, что она не делает систему недоопределенной; решение системы Эйлера-Лагранжа единственно, а пропагатор корректно определен; квантово-механическая теория безопасна и здорова.

Вы можете возразить, что если лагранжиан фиксированной калибровочной теории инвариантен относительно$\delta A=\partial \Lambda$, с$\partial^2\Lambda=0$, то функциональный интеграл должен расходиться, так как в конфигурационном пространстве есть направления, где лагранжиан постоянен. Убедитесь сами, что это не так, сравнив эту инвариантность с ранее обсуждавшейся инвариантностью при$\delta\phi=\psi$с$(\partial^2+m^2)\psi=0$. Функциональный интеграл скалярного поля, несмотря на эту инвариантность, не расходится, и причина именно в неприменимости второй теоремы Нётер: инвариантность тривиальна и не приводит к недоопределенной системе уравнений движения. В эвристическом смысле можно сказать, что условие$\partial^2\Lambda=0$является достаточно ограничительным, так что преобразование$\delta A=\partial\Lambda$имеет нулевую меру в пространстве конфигураций поля — она не дает вклада в функциональный интеграл.

использованная литература

1. ДеВитт, Глобальный подход к квантовой теории поля, главы 2-6.