Вопрос о векторе состояния квантового гармонического осциллятора

Да, все правильно Вы написали, хотя, может быть, лучше уточнить смысл некоторых определений.

«Волновые функции» квантового гармонического осциллятора — это не что иное, как представления в позиционном базисе собственных состояний гамильтониана, связанного с гармоническим осциллятором. Назовем последнее как$H_{HO}$. Тогда его собственные состояния равны$|\Psi_n\rangle$, с$H_{HO}|\Psi_n\rangle=E_n |\Psi_n\rangle$, где$E_n$это энергия$n$й уровень. Затем мы вставляем разрешение идентичности, чтобы найти позиционное представление$|\Psi_n\rangle$:

$$|\Psi_n\rangle=\int_{-\infty}^\infty |x\rangle\langle x|\Psi_n\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle\psi_n(x),$$ где$\psi_n(x)=\langle x|\Psi_n\rangle$являются волновыми функциями и имеют форму, данную вашим учебником. Обратите внимание, что мы восстановили интеграл, записанный вами во второй формуле.

Наконец, состояние системы в данный момент времени не обязательно должно быть собственным состоянием$H_{HO}$, но может быть любым состоянием нашего гильбертова пространства. Это то, что вы называете "вектором состояния"$|\Psi\rangle$. Как мы можем это выразить? Ну, мы можем выбрать базисную декомпозицию, которую мы предпочитаем, например:

$$|\Psi\rangle=\sum_n c_n |\Psi_n\rangle=\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle\psi(x),$$ где$c_n=\langle \Psi_n|\Psi\rangle$и$\psi(x)=\langle x|\Psi\rangle$. Оба являются совершенно эквивалентными представлениями одной и той же «физической реальности», описанной$|\Psi\rangle$, и вы можете выбрать один из них в соответствии с проблемой, которую хотите решить.