Вывод интеграла по траекториям Фейнмана

У меня возникли проблемы с пониманием одной части вывода формулировки интеграла по путям QM, скажем, у меня есть пропагатор, тогда мы можем разбить его на N частей st

(1) [ Икс ′ , т 1 ; Икс 0 , т 0 ] "=" [ Икс ′ ; е я ЧАС Δ т / ℏ . . . . Н   т я м е с . . . . е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс 0 ] ,

определение [ а ; б ] быть скобками соответственно и ЧАС наш гамильтоновский оператор, где мы берем частицу из точки Икс 0 в т 0 В точку Икс ′ в т 1 и интервалы нарушены, давая нам Δ т "=" ( т 1 − т 0 ) / Н .

Таким образом, мы можем переписать как

(2) [ Икс ′ , т 1 ; Икс 0 , т 0 ] "=" [ Икс Н ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс Н − 1 ] . . . [ Икс 1 ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс 0 ]
Для меня у нас было бы
(3) [ Икс Н ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс Н − 1 ] "=" ∫ г Икс Н − 1 [ Икс Н ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс Н − 1 ] [ Икс Н − 1 ; Икс Н − 1 ] ;
Где я использовал личность
(4) 1 "=" ∫ г Икс   ; Икс Н ] [ Икс Н ;

Я думаю, что после решения (2) в интегральной форме у нас было бы что-то вроде этого уравнения:

[ Икс ′ , т 1 ; Икс 0 , т 0 ] "="
∫ г Икс Н − 1 [ Икс Н ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс Н − 1 ] [ Икс Н − 1 ; Икс Н − 1 ] ∫ г Икс Н − 2 [ Икс Н − 1 ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс Н − 2 ] [ Икс Н − 2 ; Икс Н − 2 ] . . . × ∫ г Икс 0 [ Икс 1 ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс 0 ] [ Икс 0 ; Икс 0 ] ( 5 )

но книги говорят следующее:

[ Икс ′ , т 1 ; Икс 0 , т 0 ] "="
∫ г Икс 1 . . . ∫ г Икс Н − 1 [ Икс Н ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс Н − 1 ] [ Икс Н − 1 ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс Н − 2 ] . . . [ Икс 2 ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс 1 ] [ Икс 1 ; е я ЧАС Δ т / ℏ ; Икс 0 ]

И я совершенно не понимаю, почему.

Итак, вот мои вопросы:

  1. Я сделал какую-то ошибку в моем выводе?

  2. Почему выполняется последнее равенство? Вместо того, чтобы иметь пропагаторы внутри каждого интеграла.

Просто примечание к соглашению - в стандартной нотации скобок обычно используются угловые скобки. ⟨ (\ лангл) и ⟩ (\rangle) вместо квадратных скобок для векторов состояния.

Ответы (2)

Когда вы вставляете оператор тождества между каждым из ваших бесконечно малых пропагаторов, вам нужно интегрировать по всем промежуточным состояниям. Другими словами,

⟨ Икс Н | е − я ЧАС Δ т е − я ЧАС Δ т … е − я ЧАС Δ т | Икс 0 ⟩ "="
⟨ Икс Н | е − я ЧАС Δ т ( ∫ г Икс Н − 1 | Икс Н − 1 ⟩ ⟨ Икс Н − 1 | ) е − я ЧАС Δ т ( ∫ г Икс Н − 2 | Икс Н − 2 ⟩ ⟨ Икс Н − 2 | ) е − я ЧАС Δ т … | Икс 0 ⟩
Когда вы выполнили этот шаг, вы не интегрировали все промежуточные состояния. Я не уверен, что именно вы хотели сделать - вы переработали фиктивные переменные и потом вставили новые наборы состояний или что-то в этом роде.

Оттуда вы можете перетащить все знаки интеграла влево (это ничего не делает, это просто упрощает запись), и вы обнаружите, что это равно

∫ г Икс Н − 1 ∫ г Икс Н − 2 . . . ∫ г Икс 1 ⟨ Икс Н | е − я ЧАС Δ т | Икс Н − 1 ⟩ ⟨ Икс Н − 1 | е − я ЧАС Δ т | Икс Н − 2 ⟩ ⟨ Икс Н − 2 | … | Икс 1 ⟩ ⟨ Икс 1 | е − я ЧАС Δ т | Икс 0 ⟩

как и утверждает книга.

Большое спасибо, теперь мне понятно, почему мы интегралы сбрасываем влево, а остальные можно кинуть в правую часть уравнения, я неправильно понял, что происходит после первого равенства, теперь все ясно.

Я считаю, что у вас есть проблема на шаге 2 . | Икс Н − 1 ⟩ который возникает из ниоткуда в вашем выводе, на самом деле появляется, потому что мы используем отношение полноты (как в вашем шаге 4 ). Подставим этот интеграл между двумя е я ЧАС Δ т / ℏ .

Состояния нормализуются: ⟨ я | я ⟩ "=" 1 . Неважно, сколько их присутствует в конечном выражении.

Вывод интеграла по траекториям Фейнмана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v